Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = 2 \sqrt{t}$ , $y (1) = 4$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = 2 \sqrt{t} d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 2 \sqrt{t} d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 2 \sqrt{t} d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 2 \int \sqrt{t} d t$

Bước 2.3.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{\frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Viết lại $2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ ở dạng $2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $1$ cho $t$ và $4$ cho $y$ trong $y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ .

$4 = \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 4$ .

$\frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 4$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{4}{3} \cdot 1 + K = 4$

Bước 4.2.2

Nhân $\frac{4}{3}$ với $1$ .

$\frac{4}{3} + K = 4$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $\frac{4}{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 4 - \frac{4}{3}$

Bước 4.3.2

Để viết $4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $4$ và $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Bước 4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 4}{3}$

Bước 4.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $4$ với $3$ .

$K = \frac{12 - 4}{3}$

Bước 4.3.5.2

Trừ $4$ khỏi $12$ .

$K = \frac{8}{3}$

Bước 5

Thay $\frac{8}{3}$ cho $K$ trong $y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $\frac{8}{3}$ bằng $K$ .

$y = \frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{8}{3}$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{4}{3}$ và $t^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{8}{3}$