Giải tích Ví dụ

$\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ cho $N$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ cho $N$ .

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Bước 1.1.2.1.2

Chia $\frac{d N}{d t}$ cho $1$ .

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Bước 1.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Bước 1.1.3.1.2

Chia $t e^{t + 2}$ cho $1$ .

$\frac{d N}{d t} = t e^{t + 2}$

Bước 1.2

Viết lại phương trình.

$d N = t e^{t + 2} d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d N = \int t e^{t + 2} d t$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$N + C_{1} = \int t e^{t + 2} d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t$ và $d v = e^{t + 2}$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{t + 2} d t$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = t + 2$ . Sau đó $d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = t + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $t + 2$ .

$\frac{d}{d t} [t + 2]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t + 2$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [2]$

Bước 2.3.2.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $2$ đối với $t$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.3.2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{u} d u$

Bước 2.3.3

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - (e^{u} + C_{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{u} + C_{2}$

Bước 2.3.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t + 2$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{t + 2} + C_{2}$

Bước 2.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$N + C_{1} = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$N = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + K$