Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- \frac{2}{3}}$ , $y (- 1) = - 5$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{2}{3}}$ đối với $x$ là $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$y + C_{1} = 3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2})$ ở dạng $3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2

Nhân $3$ với $3$ .

$y + C_{1} = 9 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $- 1$ cho $x$ và $- 5$ cho $y$ trong $y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$ .

$- 5 = 9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$ .

$9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $- 1$ ở dạng ${(- 1)}^{3}$ .

$9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} + K = - 5$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} + K = - 5$

Bước 4.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$9 {(- 1)}^{1} + K = - 5$

Bước 4.2.4

Tính số mũ.

$9 \cdot - 1 + K = - 5$

Bước 4.2.5

Nhân $9$ với $- 1$ .

$- 9 + K = - 5$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $9$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = - 5 + 9$

Bước 4.3.2

Cộng $- 5$ và $9$ .

$K = 4$

Bước 5

Thay $4$ cho $K$ trong $y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $4$ bằng $K$ .

$y = 9 x^{\frac{1}{3}} + 4$