Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = x^{3} (y - 3)$ , $y (0) = 6$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y - 3}$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} (x^{3} (y - 3))$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y - 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $y - 3$ ra ngoài $x^{3} (y - 3)$ .

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} ((y - 3) x^{3})$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 3} ((y - 3) x^{3})$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y - 3} \frac{d y}{d x} = x^{3}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y - 3} d y = x^{3} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y - 3} d y = \int x^{3} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = y - 3$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = y - 3$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - 3$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Bước 2.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Bước 2.2.1.1.4

Vì $- 3$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 3$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x^{3} d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x^{3} d x$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y - 3$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \int x^{3} d x$

Bước 2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y - 3 |) + C_{1} = \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y - 3 |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y - 3 |)} = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y - 3 |) = \frac{1}{4} x^{4} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{4} x^{4} + C} = | y - 3 |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y - 3 | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$ .

$| y - 3 | = e^{\frac{1}{4} x^{4} + C}$

Bước 3.3.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$| y - 3 | = e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

Bước 3.3.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y - 3 = \pm e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$

Bước 3.3.4

Cộng $3$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4} + C} + 3$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{\frac{x^{4}}{4} + C}$ ở dạng $e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{4}}{4}} e^{C} + 3$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{\frac{x^{4}}{4}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $6$ cho $y$ trong $y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$ .

$6 = C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3$

Bước 6

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3 = 6$ .

$C e^{\frac{0^{4}}{4}} + 3 = 6$

Bước 6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$C e^{\frac{0}{4}} + 3 = 6$

Bước 6.2.2

Chia $0$ cho $4$ .

$C e^{0} + 3 = 6$

Bước 6.2.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$C \cdot 1 + 3 = 6$

Bước 6.2.4

Nhân $C$ với $1$ .

$C + 3 = 6$

Bước 6.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = 6 - 3$

Bước 6.3.2

Trừ $3$ khỏi $6$ .

$C = 3$

Bước 7

Thay $3$ cho $C$ trong $y = C e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $3$ bằng $C$ .

$y = 3 e^{\frac{x^{4}}{4}} + 3$