Giải tích Ví dụ

$\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y + (x y^{2} - y) d x = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại.

$(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x y^{2} - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} - y]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y^{2} - y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x y^{2}$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [- y]$

Bước 2.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [- y]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1 \cdot 1$

Bước 2.4.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2} y - 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2} y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) - 4 x}{2}]$

Bước 3.2.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 4 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2}]$

Bước 3.2.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (3 x y) + x \cdot - 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y - 4)}{2}]$

Bước 3.2.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = 3 x y - 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [3 x y - 4] + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x y - 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.2

Vì $3 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x y$ đối với $x$ là $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.4

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.5

Vì $- 4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 4$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + 0) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1

Cộng $3 y$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.6.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 \cdot x y + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + (3 x y - 4) \cdot 1)$

Bước 3.4.8

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.8.1

Nhân $3 x y - 4$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + 3 x y - 4)$

Bước 3.4.8.2

Cộng $3 x y$ và $3 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y - 4)$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6}{2} (x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{6}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6}{2} y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.2.3

Kết hợp $\frac{x \cdot 6}{2}$ và $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6 y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.2.4

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6 \cdot x y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 (1)} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{3 x y}{1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.2.5.2.4

Chia $3 x y$ cho $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Bước 3.5.2.6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 4}{2}$

Bước 3.5.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Bước 3.5.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.7.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Bước 3.5.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 2}{1}$

Bước 3.5.2.7.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y - 2$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $2 x y - 1$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $3 x y - 2$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$

Bước 4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$ không phải là một đẳng thức.

Bước 5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $3 x y - 2$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x y - 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 5.2

Thay $2 x y - 1$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{M}$

Bước 5.3

Thay $x y^{2} - y$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay $x y^{2} - y$ bằng $M$ .

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{x y^{2} - y}$

Bước 5.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

Bước 5.3.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

Bước 5.3.2.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) + 1}{x y^{2} - y}$

Bước 5.3.2.4

Trừ $2 x y$ khỏi $3 x y$ .

$\frac{1 x y - 2 + 1}{x y^{2} - y}$

Bước 5.3.2.5

Cộng $- 2$ và $1$ .

$\frac{1 x y - 1}{x y^{2} - y}$

Bước 5.3.2.6

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x y - 1}{x y^{2} - y}$

Bước 5.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $x y^{2} - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y^{2}$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y) - y}$

Bước 5.3.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $- y$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y) + y \cdot - 1}$

Bước 5.3.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $y (x y) + y \cdot - 1$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

Bước 5.3.4

Thay $x y^{2} - y$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

Bước 5.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y}$

Bước 5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Bước 6

Tính $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Bước 6.2.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = | y | + C$

Bước 7

Nhân cả hai vế của $(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$ với hệ số tích phân $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $x y^{2} - y$ với $y$ .

$(x y^{2} - y) y d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x y^{2} y - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Bước 7.3

Nhân $y^{2}$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Di chuyển $y$ .

$(x (y \cdot y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Bước 7.3.2

Nhân $y$ với $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$(x (y^{1} y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Bước 7.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(x y^{1 + 2} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Bước 7.3.3

Cộng $1$ và $2$ .

$(x y^{3} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Bước 7.4

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Di chuyển $y$ .

$(x y^{3} - (y \cdot y)) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Bước 7.4.2

Nhân $y$ với $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Bước 7.5

Nhân $\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ với $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} y d y = 0$

Bước 7.6

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2} y - 4 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $3 x^{2} y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) - 4 x}{2} y d y = 0$

Bước 7.6.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 4 x$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2} y d y = 0$

Bước 7.6.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (3 x y) + x \cdot - 4$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4)}{2} y d y = 0$

Bước 7.7

Kết hợp $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ và $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4) y}{2} d y = 0$

Bước 7.8

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{x (3 x y - 4) y}{2}$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y = 0$

Bước 8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y$

Bước 9

Lấy tích phân $N (x, y) = \frac{x y (3 x y - 4)}{2}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Vì $\frac{x}{2}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{x}{2}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y - 4) d y$

Bước 9.2

Khai triển $y (3 x y - 4)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y) + y \cdot - 4 d y$

Bước 9.2.2

Di chuyển các dấu ngoặc đơn.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x) y + y \cdot - 4 d y$

Bước 9.2.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y \cdot 3 x y + y \cdot - 4 d y$

Bước 9.2.4

Sắp xếp lại $y$ và $3$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 \cdot y x y + y \cdot - 4 d y$

Bước 9.2.5

Sắp xếp lại $y$ và $- 4$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 y x y - 4 y d y$

Bước 9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y) - 4 y d y$

Bước 9.3.2

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y^{1}) - 4 y d y$

Bước 9.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{1 + 1} - 4 y d y$

Bước 9.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{2} - 4 y d y$

Bước 9.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (\int 3 x y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

Bước 9.5

Vì $3 x$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3 x$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x \int y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

Bước 9.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y)$

Bước 9.7

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) + \int - 4 y d y)$

Bước 9.8

Vì $- 4$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 \int y d y)$

Bước 9.9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Bước 9.10

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{y^{2}}{2} + C))$

Bước 9.11

Rút gọn.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Bước 9.12

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Bước 10

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$

Bước 11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \frac{x}{2}$ và $g (x) = x y^{3} - 2 y^{2}$ .

$\frac{x}{2} \frac{d}{d x} [x y^{3} - 2 y^{2}] + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y^{3} - 2 y^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{x}{2} (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3.4

Vì $y^{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y^{3}$ đối với $x$ là $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3.6

Vì $- 2 y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2 y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3.7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3.9

Nhân $y^{3}$ với $1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3.10

Cộng $y^{3}$ và $0$ .

$\frac{x}{2} y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3.11

Kết hợp $\frac{x}{2}$ và $y^{3}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3.12

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3.13

Để viết $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3.14

Kết hợp $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + \frac{(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3.15

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3.16

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3.17

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.17.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3.17.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \cdot 1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3.18

Nhân $x y^{3} - 2 y^{2}$ với $1$ .

$\frac{x y^{3} + x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.3.19

Cộng $x y^{3}$ và $x y^{3}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1.1

Để viết $\frac{d g}{d x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} \cdot \frac{2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.5.1.2

Kết hợp $\frac{d g}{d x}$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{\frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.5.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + \frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.5.1.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \cdot \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.5.1.5

Triệt tiêu thừa số chung của $2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x y^{3}$ .

$\frac{2 (x y^{3}) - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.5.1.5.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.5.1.5.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2})$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.5.1.5.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 \frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.5.1.5.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.5.1.5.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1.5.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 (1)} = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.5.1.5.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 \cdot 1} = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.5.1.5.6.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}}{1} = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.5.1.5.6.4

Chia $x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}$ cho $1$ .

$x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

Bước 12.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2}$

Bước 13

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Cộng $y^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2} + y^{2}$

Bước 13.1.2

Trừ $y^{3} x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$

Bước 13.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.3.1

Cộng $- y^{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} + 0 - y^{3} x$

Bước 13.1.3.2

Cộng $x y^{3}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{3} x$

Bước 13.1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $x y^{3}$ và $- y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} x - y^{3} x$

Bước 13.1.3.4

Trừ $y^{3} x$ khỏi $y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Bước 14

Tìm nguyên hàm của $0$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Bước 14.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Bước 14.3

Tích phân của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Bước 14.4

Cộng $0$ và $C$ .

$g (x) = C$

Bước 15

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Bước 16

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Bước 16.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3}) + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Bước 16.3

Nhân $\frac{x}{2} (x y^{3})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.3.1

Kết hợp $x$ và $\frac{x}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Bước 16.3.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Bước 16.3.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x^{1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Bước 16.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x, y) = \frac{x^{1 + 1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Bước 16.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Bước 16.3.6

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}$ và $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Bước 16.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - 2 \frac{x}{2} y^{2} + C$

Bước 16.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 16.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 (- 1) \frac{x}{2} y^{2} + C$

Bước 16.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2} y^{2} + C$

Bước 16.5.3

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - x y^{2} + C$