Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} - x$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (e^{3 x} - x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int e^{3 x} - x d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} - x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} d x + \int - x d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 2.3.2.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 2.3.2.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int - x d x$

Bước 2.3.3

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - x d x$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int - x d x$

Bước 2.3.5

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + \int - x d x$

Bước 2.3.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \int x d x$

Bước 2.3.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Bước 2.3.8

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} - \frac{1}{2} x^{2} + K$