Giải tích Ví dụ

$(2 x y + y^{3} \cos (x)) d x + (x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x y + y^{3} \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + y^{3} \cos (x)]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x y + y^{3} \cos (x)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $2 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $y$ là $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d y} [y^{3} \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $\cos (x)$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y^{3} \cos (x)$ đối với $y$ là $\cos (x) \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \cos (x) \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \cos (x) (3 y^{2})$

Bước 1.4.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 3 \cos (x) y^{2}$

Bước 1.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 y^{2} \sin (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3 y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 y^{2} \sin (x)$ đối với $x$ là $3 y^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 3 y^{2} \cos (x)$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} \cos (x) + 2 x = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$3 y^{2} \cos (x) + 2 x = 3 y^{2} \cos (x) + 2 x$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + 3 y^{2} \sin (x) d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} \sin (x)$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int x^{2} d y + \int 3 y^{2} \sin (x) d y$

Bước 5.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x^{2} y + C + \int 3 y^{2} \sin (x) d y$

Bước 5.3

Vì $3 \sin (x)$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3 \sin (x)$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 \sin (x) \int y^{2} d y$

Bước 5.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 \sin (x) (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Bước 5.5

Rút gọn.

$f (x, y) = x^{2} y + 3 \sin (x) \frac{1}{3} y^{3} + C$

Bước 5.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $3$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3}{3} \sin (x) y^{3} + C$

Bước 5.6.2

Kết hợp $\frac{3}{3}$ và $\sin (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3 \sin (x)}{3} y^{3} + C$

Bước 5.6.3

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{3 \sin (x)}{3} y^{3} + C$

Bước 5.6.3.2

Chia $\sin (x)$ cho $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{2} y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Bước 8.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Bước 8.4

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (x) y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Vì $y^{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\sin (x) y^{3}$ đối với $x$ là $y^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 y x + y^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Bước 8.4.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 y x + y^{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Bước 8.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + y^{3} \cos (x) + \frac{d g}{d x} = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Bước 8.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y + y^{3} \cos (x) = 2 x y + y^{3} \cos (x)$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $2 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} \cos (x) = 2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y$

Bước 9.1.2

Trừ $y^{3} \cos (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y - y^{3} \cos (x)$

Bước 9.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $2 x y + y^{3} \cos (x) - 2 x y - y^{3} \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Trừ $2 x y$ khỏi $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} \cos (x) + 0 - y^{3} \cos (x)$

Bước 9.1.3.2

Cộng $y^{3} \cos (x)$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} \cos (x) - y^{3} \cos (x)$

Bước 9.1.3.3

Trừ $y^{3} \cos (x)$ khỏi $y^{3} \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $0$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Bước 10.3

Tích phân của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Bước 10.4

Cộng $0$ và $C$ .

$g (x) = C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = x^{2} y + \sin (x) y^{3} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3} \sin (x) + C$