Giải tích Ví dụ

$(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ , $y (\frac{π}{4}) = 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ cho $1 + \cos (2 x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ cho $1 + \cos (2 x)$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $1 + \cos (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Bước 1.1.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Bước 1.2

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (2 x)} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3.2.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.3.2.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ với $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $1 + \cos (u_{1})$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Bước 2.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Bước 2.3.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = 1 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Bước 2.3.5.3

Nhân $\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$ với $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Bước 2.3.6

Sử dụng đẳng thức góc nhân đôi để chuyển $\cos (x)$ thành $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 2.3.7

Sử dụng đẳng thức pytago để chuyển đổi $1$ thành $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 2.3.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Trừ ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ khỏi ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Bước 2.3.8.2

Cộng ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ và ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Bước 2.3.8.3

Cộng $2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ và $0$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 2.3.9

Nhân đối số với $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Bước 2.3.10

Kết hợp.

$y + C_{1} = \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Bước 2.3.11

Nhân ${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ với $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Bước 2.3.12

Viết lại $\sec (\frac{u}{2})$ theo sin và cosin.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

Bước 2.3.13

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Bước 2.3.14

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Bước 2.3.15

Nhân $2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.15.1

Kết hợp $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ và $2$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 2.3.15.2

Kết hợp $\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ và $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Bước 2.3.16

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 2.3.17

Viết lại $\sec (\frac{u}{2})$ theo sin và cosin.

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 2.3.18

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 2.3.19

Kết hợp.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Bước 2.3.20

Triệt tiêu thừa số chung $\cos^{2} (\frac{u}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.20.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Bước 2.3.20.2

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 2.3.21

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 2.3.22

Nhân với $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

Bước 2.3.23

Tách các phân số.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Bước 2.3.24

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ sang $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Bước 2.3.25

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.25.1

Nhân $2$ với $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Bước 2.3.25.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.26

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Bước 2.3.27

Giả sử $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Sau đó $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , nên $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.27.1

Hãy đặt $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.27.1.1

Tính đạo hàm $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Bước 2.3.27.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $\frac{u_{1}}{2}$ đối với $u_{1}$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Bước 2.3.27.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 2.3.27.1.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 2.3.27.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.28

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.28.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

Bước 2.3.28.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2}$

Bước 2.3.28.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sec^{2} (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Bước 2.3.29

Vì $2$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Bước 2.3.30

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.30.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Bước 2.3.30.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.30.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Bước 2.3.30.2.2

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = 1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Bước 2.3.30.3

Nhân $\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ với $1$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Bước 2.3.31

Vì đạo hàm của $\tan (u_{2})$ là $\sec^{2} (u_{2})$ , tích phân của $\sec^{2} (u_{2})$ là $\tan (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \tan (u_{2}) + C_{2}$

Bước 2.3.32

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.32.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\frac{u_{1}}{2}$ .

$y + C_{1} = \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C_{2}$

Bước 2.3.32.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

Bước 2.3.33

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.33.1

Rút gọn biểu thức $\frac{2 x}{2}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.33.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

Bước 2.3.33.1.2

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \tan (\frac{x}{1}) + C_{2}$

Bước 2.3.33.2

Chia $x$ cho $1$ .

$y + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \tan (x) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $\frac{π}{4}$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y = \tan (x) + K$ .

$1 = \tan (\frac{π}{4}) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$ .

$\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{4})$ là $1$ .

$1 + K = 1$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 1 - 1$

Bước 4.3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$K = 0$

Bước 5

Thay $0$ cho $K$ trong $y = \tan (x) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $0$ bằng $K$ .

$y = \tan (x) + 0$

Bước 5.2

Cộng $\tan (x)$ và $0$ .

$y = \tan (x)$