Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{3}$ , $y (0) = 9$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = 6 x^{3} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 6 x^{3} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 6 x^{3} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 6 \int x^{3} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $6 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ ở dạng $6 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{4} x^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (3)}{4} x^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} x^{4} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{3}{2} x^{4} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $9$ cho $y$ trong $y = \frac{3}{2} x^{4} + K$ .

$9 = \frac{3}{2} \cdot 0^{4} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{3}{2} \cdot 0^{4} + K = 9$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0^{4} + K = 9$

Bước 4.2

Rút gọn $\frac{3}{2} \cdot 0^{4} + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{3}{2} \cdot 0 + K = 9$

Bước 4.2.1.2

Nhân $\frac{3}{2}$ với $0$ .

$0 + K = 9$

Bước 4.2.2

Cộng $0$ và $K$ .

$K = 9$

Bước 5

Thay $9$ cho $K$ trong $y = \frac{3}{2} x^{4} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $9$ bằng $K$ .

$y = \frac{3}{2} x^{4} + 9$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x^{4}$ .

$y = \frac{3 x^{4}}{2} + 9$