Giải tích Ví dụ

$\frac{d x}{d y} + \frac{2 x y}{y^{2}} - \frac{\sin (y)}{y^{2}} = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d x}{d y} + M (y) x = Q (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $\frac{\sin (y)}{y^{2}}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d x}{d y} + \frac{2 x y}{y^{2}} = \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Bước 1.2

Đưa $x$ ra ngoài $\frac{2 x y}{y^{2}}$ .

$\frac{d x}{d y} + x \frac{2 y}{y^{2}} = \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Bước 1.3

Sắp xếp lại $x$ và $\frac{2 y}{y^{2}}$ .

$\frac{d x}{d y} + \frac{2 y}{y^{2}} x = \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (y) d y}$ , trong đó $P (y) = \frac{2 y}{y^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{2 y}{y^{2}} d y}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{2 y}{y^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $y$ và $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $2 y$ .

$e^{\int \frac{y \cdot 2}{y^{2}} d y}$

Bước 2.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$e^{\int \frac{y \cdot 2}{y \cdot y} d y}$

Bước 2.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\int \frac{y \cdot 2}{y \cdot y} d y}$

Bước 2.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Bước 2.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Bước 2.2.3

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

$e^{2 \ln (| y |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 \ln (y)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (y^{2})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$y^{2}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{2 y}{y^{2}} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $y$ và $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $2 y$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{y \cdot 2}{y^{2}} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Bước 3.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{y \cdot 2}{y \cdot y} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Bước 3.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{y \cdot 2}{y \cdot y} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Bước 3.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} (\frac{2}{y} x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Bước 3.2.2

Kết hợp $\frac{2}{y}$ và $x$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y^{2} \frac{2 x}{y} = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Bước 3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y \cdot y \frac{2 x}{y} = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Bước 3.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y \cdot y \frac{2 x}{y} = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Bước 3.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + y (2 x) = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Bước 3.2.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + 2 y x = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + 2 y x = y^{2} \frac{\sin (y)}{y^{2}}$

Bước 3.3.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} \frac{d x}{d y} + 2 y x = \sin (y)$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d y} [y^{2} x] = \sin (y)$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d y} [y^{2} x] d y = \int \sin (y) d y$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$y^{2} x = \int \sin (y) d y$

Bước 7

Tích phân của $\sin (y)$ đối với $y$ là $- \cos (y)$ .

$y^{2} x = - \cos (y) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $y^{2} x = - \cos (y) + C$ cho $y^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $y^{2} x = - \cos (y) + C$ cho $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{- \cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{2} x}{y^{2}} = \frac{- \cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{- \cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x = - \frac{\cos (y)}{y^{2}} + \frac{C}{y^{2}}$