Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} = y + t^{3}$

Bước 1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d t} - y = t^{3}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (t) d t}$ , trong đó $P (t) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - 1 d t}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{- t + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- t}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} t^{3}$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} t^{3}$

Bước 3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} t^{3}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = t^{3} e^{- t}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = t^{3} e^{- t}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int t^{3} e^{- t} d t$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- t} y = \int t^{3} e^{- t} d t$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t^{3}$ và $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - \int - e^{- t} (3 t^{2}) d t$

Bước 7.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - \int - 3 e^{- t} t^{2} d t$

Bước 7.3

Vì $- 3$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - (- 3 \int e^{- t} t^{2} d t)$

Bước 7.4

Nhân $- 3$ với $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 \int e^{- t} t^{2} d t$

Bước 7.5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t^{2}$ và $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - \int - e^{- t} (2 t) d t)$

Bước 7.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - \int - 2 e^{- t} t d t)$

Bước 7.7

Vì $- 2$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - (- 2 \int e^{- t} t d t))$

Bước 7.8

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 \int e^{- t} t d t)$

Bước 7.9

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = t$ và $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t))$

Bước 7.10

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t))$

Bước 7.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.11.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t))$

Bước 7.11.2

Nhân $\int e^{- t} d t$ với $1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t))$

Bước 7.12

Giả sử $u = - t$ . Sau đó $d u = - d t$ , nên $- d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.1

Hãy đặt $u = - t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.12.1.1

Tính đạo hàm $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Bước 7.12.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Bước 7.12.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 7.12.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 7.12.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + \int - e^{u} d u))$

Bước 7.13

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - \int e^{u} d u))$

Bước 7.14

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)))$

Bước 7.15

Viết lại $t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)))$ ở dạng $- t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{u})) + C$ .

$e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{u})) + C$

Bước 7.16

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- t$ .

$e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$ cho $e^{- t}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$ cho $e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.3.1.1.2

Chia $- t^{3}$ cho $1$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.3.1.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.3.1.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (- t e^{- t} - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.3.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (- t e^{- t}) + 2 (- e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.3.1.2.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} - 2 (t e^{- t}) + 2 (- e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.3.1.2.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} - 2 (t e^{- t}) - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.3.1.2.6

Đưa $e^{- t}$ ra ngoài $- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.6.1

Đưa $e^{- t}$ ra ngoài $- t^{2} e^{- t}$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.3.1.2.6.2

Đưa $e^{- t}$ ra ngoài $- 2 t e^{- t}$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.3.1.2.6.3

Đưa $e^{- t}$ ra ngoài $- 2 e^{- t}$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) + e^{- t} \cdot - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.3.1.2.6.4

Đưa $e^{- t}$ ra ngoài $e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t)$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.3.1.2.6.5

Đưa $e^{- t}$ ra ngoài $e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

$y = - t^{3} + \frac{3 e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - t^{3} + \frac{3 e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.3.1.3.2

Chia $3 (- t^{2} - 2 t - 2)$ cho $1$ .

$y = - t^{3} + 3 (- t^{2} - 2 t - 2) + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.3.1.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - t^{3} + 3 (- t^{2}) + 3 (- 2 t) + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.3.1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} + 3 (- 2 t) + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.3.1.5.2

Nhân $- 2$ với $3$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} - 6 t + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8.3.1.5.3

Nhân $3$ với $- 2$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} - 6 t - 6 + \frac{C}{e^{- t}}$