Giải tích Ví dụ

$x (y d) x + \sqrt{1 + x^{2}} d y = 0$

Bước 1

Trừ $x y d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sqrt{1 + x^{2}} d y = - x y d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $\sqrt{1 + x^{2}}$ ra ngoài $\sqrt{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} (y)} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} \sqrt{1 + x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (- x y) d x$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (x y) d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}} y}$ vào tử số.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}} y} (x y) d x$

Bước 3.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $\sqrt{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (x y) d x$

Bước 3.3.3

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (y x) d x$

Bước 3.3.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y \sqrt{1 + x^{2}}} (y x) d x$

Bước 3.3.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}} x d x$

Bước 3.4

Kết hợp $\frac{- 1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ và $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Bước 3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Bước 3.6

Nhân $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{y} d y = - (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) d x$

Bước 3.7

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Bước 3.7.2

Nâng $\sqrt{1 + x^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Bước 3.7.3

Nâng $\sqrt{1 + x^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} d x$

Bước 3.7.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} d x$

Bước 3.7.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} d x$

Bước 3.7.6

Viết lại ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ ở dạng $1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + x^{2}}$ ở dạng ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Bước 3.7.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d x$

Bước 3.7.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} d x$

Bước 3.7.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} d x$

Bước 3.7.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} d x$

Bước 3.7.6.5

Rút gọn.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} d x$

Bước 4.3.2

Giả sử $u = 1 + x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Hãy đặt $u = 1 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 4.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.3.2.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 4.3.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 4.3.2.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 4.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 4.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Nhân $\frac{\sqrt{u}}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Bước 4.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Bước 4.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Bước 4.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Bước 4.3.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.2.1

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Bước 4.3.5.2.2

Nhân $u$ với $u^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.2.2.1

Nhân $u$ với $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.2.2.1.1

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Bước 4.3.5.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Bước 4.3.5.2.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Bước 4.3.5.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Bước 4.3.5.2.2.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 4.3.5.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.3.1

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 4.3.5.3.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 4.3.5.3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 4.3.5.3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 4.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Bước 4.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Viết lại $- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ ở dạng $- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 4.3.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 4.3.7.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 4.3.7.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 4.3.7.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 4.3.7.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 4.3.7.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 4.3.7.2.3.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 4.3.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Bước 5.2

Viết lại $\ln (| y |) = - {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

Bước 5.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y | = e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Bước 5.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$

Bước 6

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C}$ ở dạng $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

Bước 6.2

Sắp xếp lại $e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$