Giải tích Ví dụ

$(x + \frac{2}{y}) d y + y d x = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại.

$y d x + (x + \frac{2}{y}) d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x + \frac{2}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + \frac{2}{y}]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + \frac{2}{y}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{y}]$

Bước 3.4

Vì $\frac{2}{y}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{2}{y}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Bước 3.5

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $1$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $1$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

Bước 4.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$1 = 1$ là một đẳng thức.

Bước 5

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Bước 6

Lấy tích phân $M (x, y) = y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = y x + C$

Bước 7

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Bước 8

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + \frac{2}{y}$

Bước 9

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Bước 9.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Bước 9.3

Tính $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Bước 9.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Bước 9.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + \frac{2}{y}$

Bước 9.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x + \frac{2}{y}$

Bước 9.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + x = x + \frac{2}{y}$

Bước 10

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = x + \frac{2}{y} - x$

Bước 10.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + \frac{2}{y} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.2.1

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y} + 0$

Bước 10.1.2.2

Cộng $\frac{2}{y}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$

Bước 11

Tìm nguyên hàm của $\frac{2}{y}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = \frac{2}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{2}{y} d y$

Bước 11.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{2}{y} d y$

Bước 11.3

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = 2 \int \frac{1}{y} d y$

Bước 11.4

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$g (y) = 2 (\ln (| y |) + C)$

Bước 11.5

Rút gọn.

$g (y) = 2 \ln (| y |) + C$

Bước 12

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x + 2 \ln (| y |) + C$

Bước 13

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn $2 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f (x, y) = y x + \ln ({| y |}^{2}) + C$

Bước 13.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| y |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$f (x, y) = y x + \ln (y^{2}) + C$