Giải tích Ví dụ

$(x + y \cos (x)) d x + (\sin (x)) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x + y \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y \cos (x)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + y \cos (x)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

Bước 1.2.2

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y \cos (x)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $\cos (x)$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y \cos (x)$ đối với $y$ là $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (x) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (x) \cdot 1$

Bước 1.3.3

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \cos (x)$

Bước 1.4

Cộng $0$ và $\cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x)$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x)$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $\cos (x)$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $\cos (x)$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (x) = \cos (x)$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\cos (x) = \cos (x)$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \sin (x) d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = \sin (x)$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = \sin (x) y + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + y \cos (x)$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y + g (x)] = x + y \cos (x)$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\sin (x) y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y \cos (x)$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\sin (x) y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y \cos (x)$

Bước 8.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$y \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y \cos (x)$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = x + y \cos (x)$

Bước 8.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) = x + y \cos (x)$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $y \cos (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = x + y \cos (x) - y \cos (x)$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x + y \cos (x) - y \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $y \cos (x)$ khỏi $y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $x$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Bước 10.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = \sin (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 12

Rút gọn $f (x, y) = \sin (x) y + \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + \frac{x^{2}}{2} + C$

Bước 12.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = \sin (x) y + \frac{x^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = y \sin (x) + \frac{x^{2}}{2} + C$