Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} - y = 1$ , $y (0) = 1$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (t) d t}$ , trong đó $P (t) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int - 1 d t}$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{- t + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- t}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} \cdot 1$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} \cdot 1$

Bước 2.3

Nhân $e^{- t}$ với $1$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t}$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = e^{- t}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = e^{- t}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int e^{- t} d t$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- t} y = \int e^{- t} d t$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Giả sử $u = - t$ . Sau đó $d u = - d t$ , nên $- d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Hãy đặt $u = - t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Tính đạo hàm $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Bước 6.1.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Bước 6.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 6.1.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 6.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{- t} y = \int - e^{u} d u$

Bước 6.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- t} y = - \int e^{u} d u$

Bước 6.3

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{- t} y = - (e^{u} + C)$

Bước 6.4

Rút gọn.

$e^{- t} y = - e^{u} + C$

Bước 6.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- t$ .

$e^{- t} y = - e^{- t} + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{- t} y = - e^{- t} + C$ cho $e^{- t}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- t} y = - e^{- t} + C$ cho $e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 7.3.1.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$

Bước 8

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $t$ và $1$ cho $y$ trong $y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$ .

$1 = - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

Bước 9

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 1$ .

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Bước 9.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1} = 1$

Bước 9.2.2

Chia $C$ cho $1$ .

$- 1 + C = 1$

Bước 9.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$C = 1 + 1$

Bước 9.3.2

Cộng $1$ và $1$ .

$C = 2$

Bước 10

Thay $2$ cho $C$ trong $y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay $2$ bằng $C$ .

$y = - 1 + \frac{2}{e^{- t}}$