Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\cos (y) + e^{y}$ .

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (\cos (y) + e^{y}) \frac{6 x^{2} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (y) + e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (\cos (y) + e^{y}) \frac{6 x^{2} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = 6 x^{2} - 2 x + 1$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$(\cos (y) + e^{y}) d y = (6 x^{2} - 2 x + 1) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \cos (y) + e^{y} d y = \int 6 x^{2} - 2 x + 1 d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \cos (y) d y + \int e^{y} d y = \int 6 x^{2} - 2 x + 1 d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\cos (y)$ đối với $y$ là $\sin (y)$ .

$\sin (y) + C_{1} + \int e^{y} d y = \int 6 x^{2} - 2 x + 1 d x$

Bước 2.2.3

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$\sin (y) + C_{1} + e^{y} + C_{2} = \int 6 x^{2} - 2 x + 1 d x$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

$\sin (y) + e^{y} + C_{3} = \int 6 x^{2} - 2 x + 1 d x$

Bước 2.2.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = \int 6 x^{2} - 2 x + 1 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = \int 6 x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int d x$

Bước 2.3.2

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int - 2 x d x + \int d x$

Bước 2.3.4

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) - 2 \int x d x + \int d x$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int d x$

Bước 2.3.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

Bước 2.3.7.1.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 2 x^{3} - x^{2} + x + C_{7}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$e^{y} + \sin (y) = 2 x^{3} - x^{2} + x + K$