Giải tích Ví dụ

$e^{x} d y + (e^{x} + 1) d x = 0$

Bước 1

Trừ $(e^{x} + 1) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$e^{x} d y = - (e^{x} + 1) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{e^{x}}$ .

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$1 d y = - \frac{1}{e^{x}} (e^{x} + 1) d x$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 d y = (- \frac{1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Bước 3.4

Triệt tiêu thừa số chung $e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{e^{x}}$ vào tử số.

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Bước 3.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Bước 3.4.3

Viết lại biểu thức.

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Bước 3.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}}) d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

Bước 4.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Bước 4.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Bước 4.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Bước 4.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Làm âm số mũ của $e^{x}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Bước 4.3.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Bước 4.3.4.2.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Bước 4.3.4.2.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- x} d x$

Bước 4.3.4.2.2

Nhân $e^{- x}$ với $1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int e^{- x} d x$

Bước 4.3.5

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 4.3.5.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.3.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 4.3.5.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 4.3.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int - e^{u} d u$

Bước 4.3.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - - \int e^{u} d u$

Bước 4.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + 1 \int e^{u} d u$

Bước 4.3.7.2

Nhân $\int e^{u} d u$ với $1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int e^{u} d u$

Bước 4.3.8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + e^{u} + C_{3}$

Bước 4.3.9

Rút gọn.

$y + C_{1} = - x + e^{u} + C_{4}$

Bước 4.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$y + C_{1} = - x + e^{- x} + C_{4}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - x + e^{- x} + K$