Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} + 4 y = 11$ , $y (0) = 1$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (t) d t}$ , trong đó $P (t) = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int 4 d t}$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{4 t + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{4 t}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{4 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + e^{4 t} (4 y) = e^{4 t} \cdot 11$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = e^{4 t} \cdot 11$

Bước 2.3

Di chuyển $11$ sang phía bên trái của $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 11 \cdot e^{4 t}$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 11 e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 y e^{4 t} = 11 e^{4 t}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d t} [e^{4 t} y] = 11 e^{4 t}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d t} [e^{4 t} y] d t = \int 11 e^{4 t} d t$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{4 t} y = \int 11 e^{4 t} d t$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $11$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $11$ ra khỏi tích phân.

$e^{4 t} y = 11 \int e^{4 t} d t$

Bước 6.2

Giả sử $u = 4 t$ . Sau đó $d u = 4 d t$ , nên $\frac{1}{4} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Hãy đặt $u = 4 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Tính đạo hàm $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

Bước 6.2.1.2

Vì $4$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $4 t$ đối với $t$ là $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 6.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Bước 6.2.1.4

Nhân $4$ với $1$ .

$4$

Bước 6.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{4 t} y = 11 \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Bước 6.3

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 t} y = 11 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Bước 6.4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$e^{4 t} y = 11 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Bước 6.5

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $11$ .

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} \int e^{u} d u$

Bước 6.6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} (e^{u} + C)$

Bước 6.7

Rút gọn.

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{u} + C$

Bước 6.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $4 t$ .

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{4 t} + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{4 t} + C$ cho $e^{4 t}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{4 t} + C$ cho $e^{4 t}$ .

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{4 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{4 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Bước 7.3.1.2

Chia $\frac{11}{4}$ cho $1$ .

$y = \frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Bước 8

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $t$ và $1$ cho $y$ trong $y = \frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 t}}$ .

$1 = \frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}}$

Bước 9

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = 1$ .

$\frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = 1$

Bước 9.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Nhân $4$ với $0$ .

$\frac{11}{4} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Bước 9.2.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{11}{4} + \frac{C}{1} = 1$

Bước 9.2.2

Chia $C$ cho $1$ .

$\frac{11}{4} + C = 1$

Bước 9.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Trừ $\frac{11}{4}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = 1 - \frac{11}{4}$

Bước 9.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$C = \frac{4}{4} - \frac{11}{4}$

Bước 9.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$C = \frac{4 - 11}{4}$

Bước 9.3.4

Trừ $11$ khỏi $4$ .

$C = \frac{- 7}{4}$

Bước 9.3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$C = - \frac{7}{4}$

Bước 10

Thay $- \frac{7}{4}$ cho $C$ trong $y = \frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 t}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay $- \frac{7}{4}$ bằng $C$ .

$y = \frac{11}{4} + \frac{- \frac{7}{4}}{e^{4 t}}$

Bước 10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{11}{4} - \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{e^{4 t}}$

Bước 10.2.2

Nhân $\frac{1}{e^{4 t}}$ với $\frac{7}{4}$ .

$y = \frac{11}{4} - \frac{7}{e^{4 t} \cdot 4}$

Bước 10.2.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $e^{4 t}$ .

$y = \frac{11}{4} - \frac{7}{4 e^{4 t}}$