Giải tích Ví dụ

$(y^{2} - 2 x y + 6) d x - (x^{2} - 2 x y + 2) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y^{2} - 2 x y + 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} - 2 x y + 6]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} - 2 x y + 6$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [6]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- 2 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- 2 x y$ đối với $y$ là $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [6]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [6]$

Bước 1.3.3

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x + \frac{d}{d y} [6]$

Bước 1.4

Vì $6$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $6$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x + 0$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Cộng $2 y - 2 x$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y - 2 x$

Bước 1.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 2 y$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = - (x^{2} - 2 x y + 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 2 x y + 2)]$

Bước 2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (x^{2} - 2 x y + 2)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + 2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x y + 2]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 2 x y + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 2.5

Vì $- 2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x y$ đối với $x$ là $- 2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 2.7

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y + \frac{d}{d x} [2])$

Bước 2.8

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y + 0)$

Bước 2.9

Cộng $2 x - 2 y$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x - 2 y)$

Bước 2.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x) - (- 2 y)$

Bước 2.10.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.10.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x - (- 2 y)$

Bước 2.10.2.2

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x + 2 y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- 2 x + 2 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 2 x + 2 y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x + 2 y = - 2 x + 2 y$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$- 2 x + 2 y = - 2 x + 2 y$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x^{2} - 2 x y + 2) d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = - (x^{2} - 2 x y + 2)$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = - \int x^{2} - 2 x y + 2 d y$

Bước 5.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = - (\int x^{2} d y + \int - 2 x y d y + \int 2 d y)$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C + \int - 2 x y d y + \int 2 d y)$

Bước 5.4

Vì $- 2 x$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 2 x$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x \int y d y + \int 2 d y)$

Bước 5.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 d y)$

Bước 5.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 y + C)$

Bước 5.7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y + C - 2 x (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 y + C)$

Bước 5.8

Rút gọn.

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (x^{2} y - x y^{2} + 2 y)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2} y - x y^{2} + 2 y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2} y - x y^{2} + 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Bước 8.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} y - x y^{2} + 2 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Bước 8.3.3

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{2} y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Bước 8.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- (y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Bước 8.3.5

Vì $- y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x y^{2}$ đối với $x$ là $- y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Bước 8.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Bước 8.3.7

Vì $2 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y$ đối với $x$ là $0$ .

$- (y (2 x) - y^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Bước 8.3.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$- (2 \cdot y x - y^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Bước 8.3.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- (2 y x - y^{2} + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Bước 8.3.10

Cộng $2 y x - y^{2}$ và $0$ .

$- (2 y x - y^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} - 2 x y + 6$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$- (2 y x - y^{2}) + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- (2 y x) - - y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Bước 8.5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 (y x) - - y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Bước 8.5.2.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- 2 y x + 1 y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Bước 8.5.2.3

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$- 2 y x + y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6$

Bước 8.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} - 2 x y = y^{2} - 2 x y + 6$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y = y^{2} - 2 x y + 6 - y^{2}$

Bước 9.1.2

Cộng $2 x y$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} - 2 x y + 6 - y^{2} + 2 x y$

Bước 9.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y^{2} - 2 x y + 6 - y^{2} + 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.3.1

Trừ $y^{2}$ khỏi $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 + 0 + 2 x y$

Bước 9.1.3.2

Cộng $- 2 x y + 6$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + 6 + 2 x y$

Bước 9.1.3.3

Cộng $- 2 x y$ và $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + 6$

Bước 9.1.3.4

Cộng $0$ và $6$ .

$\frac{d g}{d x} = 6$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $6$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 6$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 d x$

Bước 10.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (x) = 6 x + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (x^{2} y - x y^{2} + 2 y) + 6 x + C$

Bước 12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = - (x^{2} y) - (- x y^{2}) - (2 y) + 6 x + C$

Bước 12.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Nhân $- (- x y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + 1 (x y^{2}) - (2 y) + 6 x + C$

Bước 12.2.1.2

Nhân $x$ với $1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + x y^{2} - (2 y) + 6 x + C$

Bước 12.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + x y^{2} - 2 y + 6 x + C$