Giải tích Ví dụ

$2 y \frac{d y}{d x} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$2 y d y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 2 y d y = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int y d y = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Bước 2.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Bước 2.2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Bước 2.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Bước 2.2.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Bước 2.2.3.2.3

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = x^{2} - 16$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = x^{2} - 16$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} - 16$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 16]$

Bước 2.3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 16$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$

Bước 2.3.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 16]$

Bước 2.3.1.1.4

Vì $- 16$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 16$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 2.3.1.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Bước 2.3.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 2.3.4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.4.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 2.3.4.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 2.3.4.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 2.3.4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Viết lại $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ ở dạng $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.3

Nhân $u^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$y^{2} + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 16$ .

$y^{2} + C_{1} = {(x^{2} - 16)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y^{2} = {(x^{2} - 16)}^{\frac{1}{2}} + K$