Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = e^{x} + y$

Bước 1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} - y = e^{x}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - 1 d x}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{- x + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} e^{x}$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} e^{x}$

Bước 3.3

Nhân $e^{- x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x + x}$

Bước 3.3.2

Cộng $- x$ và $x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{0}$

Bước 3.4

Rút gọn $e^{0}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 1$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 1$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = 1$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = 1$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{- x} y = \int d x$

Bước 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{- x} y = x + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{- x} y = x + C$ cho $e^{- x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{- x} y = x + C$ cho $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{x}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$