Giải tích Ví dụ

$t^{2} \frac{d y}{d t} - t = 1 + y + t y$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Cộng $t$ cho cả hai vế của phương trình.

$t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$

Bước 1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$ cho $t^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$ cho $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Bước 1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Bước 1.1.2.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d t}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Bước 1.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $t$ và $t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.1.1

Đưa $t$ ra ngoài $t y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t (y)}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Bước 1.1.2.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.1.2.1

Đưa $t$ ra ngoài $t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t (y)}{t \cdot t} + \frac{t}{t^{2}}$

Bước 1.1.2.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t \cdot t} + \frac{t}{t^{2}}$

Bước 1.1.2.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t}{t^{2}}$

Bước 1.1.2.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $t$ và $t^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.2.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t^{1}}{t^{2}}$

Bước 1.1.2.3.1.2.2

Đưa $t$ ra ngoài $t^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t^{2}}$

Bước 1.1.2.3.1.2.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1.2.3.1

Đưa $t$ ra ngoài $t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t \cdot t}$

Bước 1.1.2.3.1.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t \cdot t}$

Bước 1.1.2.3.1.2.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{1}{t}$

Bước 1.2

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{1}{t}$

Bước 1.2.2

Để viết $\frac{y}{t}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y}{t} \cdot \frac{t}{t} + \frac{1}{t}$

Bước 1.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $t^{2}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nhân $\frac{y}{t}$ với $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t \cdot t} + \frac{1}{t}$

Bước 1.2.3.2

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1} t} + \frac{1}{t}$

Bước 1.2.3.3

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1} t^{1}} + \frac{1}{t}$

Bước 1.2.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1 + 1}} + \frac{1}{t}$

Bước 1.2.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

Bước 1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

Bước 1.2.5

Để viết $\frac{1}{t}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{1}{t} \cdot \frac{t}{t}$

Bước 1.2.6

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $t^{2}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Nhân $\frac{1}{t}$ với $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t \cdot t}$

Bước 1.2.6.2

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1} t}$

Bước 1.2.6.3

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1} t^{1}}$

Bước 1.2.6.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1 + 1}}$

Bước 1.2.6.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Bước 1.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t + t}{t^{2}}$

Bước 1.2.8

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.8.1.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$\frac{d y}{d t} = \frac{(1 + y) + y t + t}{t^{2}}$

Bước 1.2.8.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 (y + 1) + t (y + 1)}{t^{2}}$

Bước 1.2.8.2

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $y + 1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{(y + 1) (1 + t)}{t^{2}}$

Bước 1.3

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d t} = (y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}}$

Bước 1.4

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}})$

Bước 1.5

Triệt tiêu thừa số chung $y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}})$

Bước 1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1 + t}{t^{2}}$

Bước 1.6

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = y + 1$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = y + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 2.2.1.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Di chuyển $t^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Bước 2.3.1.2

Nhân các số mũ trong ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) t^{2 \cdot - 1} d t$

Bước 2.3.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) t^{- 2} d t$

Bước 2.3.2

Nhân $(1 + t) t^{- 2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int 1 t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $t^{- 2}$ với $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Bước 2.3.3.2

Nhân $t$ với $t^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Nhân $t$ với $t^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1.1

Nâng $t$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{1} t^{- 2} d t$

Bước 2.3.3.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{1 - 2} d t$

Bước 2.3.3.2.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{- 1} d t$

Bước 2.3.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} d t + \int t^{- 1} d t$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t^{- 2}$ đối với $t$ là $- t^{- 1}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \int t^{- 1} d t$

Bước 2.3.6

Tích phân của $t^{- 1}$ đối với $t$ là $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \ln (| t |) + C_{3}$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{t} + \ln (| t |) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{t} + \ln (| t |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| t |) = - \frac{1}{t} + C$

Bước 3.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |}) = - \frac{1}{t} + C$

Bước 3.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |})} = e^{- \frac{1}{t} + C}$

Bước 3.4

Viết lại $\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |}) = - \frac{1}{t} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{t} + C} = \frac{| y + 1 |}{| t |}$

Bước 3.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| y + 1 |}{| t |} = e^{- \frac{1}{t} + C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| t |} = e^{- \frac{1}{t} + C}$

Bước 3.5.2

Nhân cả hai vế với $| t |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| t |} | t | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Bước 3.5.3

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $| t |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| y + 1 |}{| t |} | t | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Bước 3.5.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$| y + 1 | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Bước 3.5.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$ .

$| y + 1 | = | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$

Bước 3.5.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$

Bước 3.5.4.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\pm | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$ .

$y + 1 = \pm e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Bước 3.5.4.4

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = \pm e^{- \frac{1}{t} + C} | t | - 1$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{- \frac{1}{t} + C}$ ở dạng $e^{- \frac{1}{t}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{1}{t}} e^{C} | t | - 1$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{- \frac{1}{t}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{1}{t}} | t | - 1$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{- \frac{1}{t}} | t | - 1$