Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} - 2 x y - 6 x = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d y}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Cộng $2 x y$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} - 6 x = 2 x y$

Bước 1.1.2

Cộng $6 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} = 2 x y + 6 x$

Bước 1.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x y + 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (y) + 6 x$

Bước 1.2.2

Đưa $2 x$ ra ngoài $6 x$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (y) + 2 x (3)$

Bước 1.2.3

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (y) + 2 x (3)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x (y + 3)$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} (2 x (y + 3))$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y + 3} (x (y + 3))$

Bước 1.4.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y + 3} (x (y + 3))$

Bước 1.4.3

Triệt tiêu thừa số chung $y + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.3.1

Đưa $y + 3$ ra ngoài $x (y + 3)$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y + 3} ((y + 3) x)$

Bước 1.4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y + 3} ((y + 3) x)$

Bước 1.4.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y + 3} d y = 2 x d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int 2 x d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = y + 3$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = y + 3$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Bước 2.2.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 3$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 2.2.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Bước 2.2.1.1.4

Vì $3$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $3$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.2.1.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int 2 x d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int 2 x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 2 \int x d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y + 3 |) = x^{2} + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y + 3 |)} = e^{x^{2} + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y + 3 |) = x^{2} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + C} = | y + 3 |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y + 3 | = e^{x^{2} + C}$ .

$| y + 3 | = e^{x^{2} + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm e^{x^{2} + C}$

Bước 3.3.3

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y = \pm e^{x^{2} + C} - 3$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{x^{2} + C}$ ở dạng $e^{x^{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x^{2}} e^{C} - 3$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{x^{2}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x^{2}} - 3$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{x^{2}} - 3$