Giải tích Ví dụ

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} = 0$

Bước 1

Để $v = \frac{d y}{d x}$ . Sau đó $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Thay $v$ cho $\frac{d y}{d x}$ và $\frac{d v}{d x}$ cho $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ để được phương trình vi phân có biến phụ thuộc $v$ và biến độc lập $x$ .

$\frac{d v}{d x} + 3 v = 0$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int 3 d x}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{3 x + C_{1}}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{3 x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + e^{3 x} (3 v) = e^{3 x} \cdot 0$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = e^{3 x} \cdot 0$

Bước 3.3

Nhân $e^{3 x}$ với $0$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 0$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 0$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 v e^{3 x} = 0$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} v] = 0$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} v] d x = \int 0 d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{3 x} v = \int 0 d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tích phân của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{3 x} v = 0 + C_{2}$

Bước 7.2

Cộng $0$ và $C_{2}$ .

$e^{3 x} v = C_{2}$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{3 x} v = C_{2}$ cho $e^{3 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{3 x} v = C_{2}$ cho $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{3 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $v$ cho $1$ .

$v = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $v$ với $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Bước 10

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Bước 11

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Bước 11.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{3} = \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Bước 11.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $C_{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $C_{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Bước 11.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1

Làm âm số mũ của $e^{3 x}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 {(e^{3 x})}^{- 1} d x$

Bước 11.3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{3 x})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{3 x \cdot - 1} d x$

Bước 11.3.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $3$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{- 3 x} d x$

Bước 11.3.2.2.2

Nhân $e^{- 3 x}$ với $1$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{- 3 x} d x$

Bước 11.3.3

Giả sử $u = - 3 x$ . Sau đó $d u = - 3 d x$ , nên $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.3.1

Hãy đặt $u = - 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.3.1.1

Tính đạo hàm $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Bước 11.3.3.1.2

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 11.3.3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Bước 11.3.3.1.4

Nhân $- 3$ với $1$ .

$- 3$

Bước 11.3.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Bước 11.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Bước 11.3.4.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Bước 11.3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{3} = C_{2} (- \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Bước 11.3.6

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{3} = C_{2} (- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Bước 11.3.7

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$y + C_{3} = C_{2} (- \frac{1}{3} (e^{u} + C_{4}))$

Bước 11.3.8

Rút gọn.

$y + C_{3} = C_{2} (- \frac{1}{3} e^{u}) + C_{5}$

Bước 11.3.9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 3 x$ .

$y + C_{3} = C_{2} (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) + C_{5}$

Bước 11.3.10

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{3} = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C_{2} + C_{5}$

Bước 11.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $D$ .

$y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C + D$