Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 5 + \frac{1}{x}$ , $y (1) = 7$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (5 + \frac{1}{x}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 5 + \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 5 + \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int 5 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 5 x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$y + C_{1} = 5 x + \ln (| x |) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y = 5 x + \ln (| x |) + C$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $1$ cho $x$ và $7$ cho $y$ trong $y = 5 x + \ln (| x |) + C$ .

$7 = 5 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C$

Bước 4

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $5 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C = 7$ .

$5 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C = 7$

Bước 4.2

Rút gọn $5 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nhân $5$ với $1$ .

$5 + \ln (| 1 |) + C = 7$

Bước 4.2.1.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$5 + \ln (1) + C = 7$

Bước 4.2.1.3

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$5 + 0 + C = 7$

Bước 4.2.2

Cộng $5$ và $0$ .

$5 + C = 7$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = 7 - 5$

Bước 4.3.2

Trừ $5$ khỏi $7$ .

$C = 2$

Bước 5

Thay $2$ cho $C$ trong $y = 5 x + \ln (| x |) + C$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $2$ bằng $C$ .

$y = 5 x + \ln (| x |) + 2$