Giải tích Ví dụ

$(\tan (x) - \sin (x) \sin (y)) d x + (\cos (x) \cos (y)) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x) - \sin (x) \sin (y)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

Bước 1.2.2

Vì $\tan (x)$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- \sin (x)$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- \sin (x) \sin (y)$ đối với $y$ là $- \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Bước 1.3.2

Đạo hàm của $\sin (y)$ đối với $y$ là $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \cos (y)$

Bước 1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Trừ $\sin (x) \cos (y)$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x) \cos (y)$

Bước 1.4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- \sin (x) \cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \cos (y) \sin (x)$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \cos (y)]$

Bước 2.2

Vì $\cos (y)$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\cos (x) \cos (y)$ đối với $x$ là $\cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Bước 2.3

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (- \sin (x))$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số của $\cos (y) (- \sin (x))$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \cos (y) \sin (x)$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- \cos (y) \sin (x)$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- \cos (y) \sin (x)$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (x) \cos (y) d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $\cos (x)$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\cos (x)$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = \cos (x) \int \cos (y) d y$

Bước 5.2

Tích phân của $\cos (y)$ đối với $y$ là $\sin (y)$ .

$f (x, y) = \cos (x) (\sin (y) + C)$

Bước 5.3

Rút gọn.

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y) + g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (x) \sin (y) + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $\sin (y)$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\cos (x) \sin (y)$ đối với $x$ là $\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Bước 8.3.2

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Bước 8.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Rút gọn $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1.1

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (y)$

Bước 9.1.1.1.2

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Bước 9.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Cộng $\sin (x) \sin (y)$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$

Bước 9.1.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.2.1

Cộng $- \sin (x) \sin (y)$ và $\sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) + 0$

Bước 9.1.2.2.2

Cộng $\tan (x)$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

Bước 9.1.2.3

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{d g}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 9.1.2.4

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $\tan (x)$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = \tan (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \tan (x) d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \tan (x) d x$

Bước 10.3

Tích phân của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sec (x) |)$ .

$g (x) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + \ln (| \sec (x) |) + C$