Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = - 0.7 y$ , $y (0) = 50$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- 0.7 y)$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 0.7 \frac{1}{y} y$

Bước 1.2.2

Kết hợp $- 0.7$ và $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 0.7}{y} y$

Bước 1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 0.7}{y} y$

Bước 1.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 0.7$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = - 0.7 d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - 0.7 d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 0.7 d x$

Bước 2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 0.7 x + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - 0.7 x + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 0.7 x + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = - 0.7 x + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- 0.7 x + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{- 0.7 x + C}$ .

$| y | = e^{- 0.7 x + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- 0.7 x + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{- 0.7 x + C}$ ở dạng $e^{- 0.7 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- 0.7 x} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{- 0.7 x}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- 0.7 x}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{- 0.7 x}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $50$ cho $y$ trong $y = C e^{- 0.7 x}$ .

$50 = C e^{- 0.7 \cdot 0}$

Bước 6

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $C e^{- 0.7 \cdot 0} = 50$ .

$C e^{- 0.7 \cdot 0} = 50$

Bước 6.2

Rút gọn $C e^{- 0.7 \cdot 0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $- 0.7$ với $0$ .

$C e^{0} = 50$

Bước 6.2.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$C \cdot 1 = 50$

Bước 6.2.3

Nhân $C$ với $1$ .

$C = 50$

Bước 7

Thay $50$ cho $C$ trong $y = C e^{- 0.7 x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $50$ bằng $C$ .

$y = 50 e^{- 0.7 x}$