Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$ , $y (0) = 11$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2 y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 5$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$(2 y - 1) d y = (x^{2} + 5) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 2 y - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Bước 2.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Bước 2.2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Bước 2.2.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Bước 2.2.5.2

Rút gọn.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} + 5 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int 5 d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int 5 d x$

Bước 2.3.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + 5 x + C_{5}$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y^{2} - y = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$y^{2} - y = \frac{x^{3}}{3} + 5 x + K$

Bước 3.2

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Trừ $\frac{x^{3}}{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} = 5 x + K$

Bước 3.2.2

Trừ $5 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x = K$

Bước 3.2.3

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x - K = 0$

Bước 3.3

Nhân với mẫu số chung nhỏ nhất $3$ , sau đó rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 y^{2} + 3 (- y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Bước 3.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$3 y^{2} - 3 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Bước 3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{x^{3}}{3}$ vào tử số.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Bước 3.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Bước 3.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Bước 3.3.2.3

Nhân $- 5$ với $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x + 3 (- K) = 0$

Bước 3.3.2.4

Nhân $- 1$ với $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x - 3 K = 0$

Bước 3.3.3

Di chuyển $- 15 x$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 3 K - 15 x = 0$

Bước 3.3.4

Di chuyển $- 3 y$ .

$3 y^{2} - x^{3} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Bước 3.3.5

Sắp xếp lại $3 y^{2}$ và $- x^{3}$ .

$- x^{3} + 3 y^{2} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Bước 3.4

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.5

Thay các giá trị $a = 3$ , $b = - 3$ , và $c = - x^{3} - 3 K - 15 x$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x))}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.2

Nhân $- 4$ với $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 (- x^{3}) - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.4.2

Nhân $- 3$ với $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.4.3

Nhân $- 15$ với $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.5

Đưa $3$ ra ngoài $9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.5.2

Đưa $3$ ra ngoài $12 x^{3}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.5.3

Đưa $3$ ra ngoài $36 K$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.5.4

Đưa $3$ ra ngoài $180 x$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.5.5

Đưa $3$ ra ngoài $3 (3) + 3 (4 x^{3})$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.5.6

Đưa $3$ ra ngoài $3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.1.5.7

Đưa $3$ ra ngoài $3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{2 \cdot 3}$

Bước 3.6.2

Nhân $2$ với $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Bước 3.7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

Bước 5

Vì $y$ dương ở điều kiện ban đầu $(0, 11)$ , nên chỉ xem xét $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ để tìm $K$ . Thay $0$ cho $x$ và $11$ cho $y$ .

$11 = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6}$

Bước 6

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$

Bước 6.2

Nhân cả hai vế với $6$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Rút gọn $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Bước 6.3.1.1.1.2

Nhân $4$ với $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Bước 6.3.1.1.1.3

Nhân $60$ với $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Bước 6.3.1.1.1.4

Cộng $3 + 0 + K$ và $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Bước 6.3.1.1.1.5

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Bước 6.3.1.1.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Bước 6.3.1.1.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$3 + \sqrt{3 (3 + K)} = 11 \cdot 6$

Bước 6.3.1.1.2.2

Sắp xếp lại $3$ và $K$ .

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 11 \cdot 6$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $11$ với $6$ .

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 66$

Bước 6.4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\sqrt{3 (K + 3)}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\sqrt{3 (K + 3)} = 66 - 3$

Bước 6.4.1.2

Trừ $3$ khỏi $66$ .

$\sqrt{3 (K + 3)} = 63$

Bước 6.4.2

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{3 (K + 3)}}^{2} = 63^{2}$

Bước 6.4.3

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3 (K + 3)}$ ở dạng ${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 63^{2}$

Bước 6.4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.2.1

Rút gọn ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

Bước 6.4.3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

Bước 6.4.3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(3 (K + 3))}^{1} = 63^{2}$

Bước 6.4.3.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

${(3 K + 3 \cdot 3)}^{1} = 63^{2}$

Bước 6.4.3.2.1.3

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.2.1.3.1

Nhân $3$ với $3$ .

${(3 K + 9)}^{1} = 63^{2}$

Bước 6.4.3.2.1.3.2

Rút gọn.

$3 K + 9 = 63^{2}$

Bước 6.4.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.3.1

Nâng $63$ lên lũy thừa $2$ .

$3 K + 9 = 3969$

Bước 6.4.4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.4.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.4.1.1

Trừ $9$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$3 K = 3969 - 9$

Bước 6.4.4.1.2

Trừ $9$ khỏi $3969$ .

$3 K = 3960$

Bước 6.4.4.2

Chia mỗi số hạng trong $3 K = 3960$ cho $3$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.4.2.1

Chia mỗi số hạng trong $3 K = 3960$ cho $3$ .

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

Bước 6.4.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.4.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

Bước 6.4.4.2.2.1.2

Chia $K$ cho $1$ .

$K = \frac{3960}{3}$

Bước 6.4.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.4.2.3.1

Chia $3960$ cho $3$ .

$K = 1320$

Bước 7

Thay $1320$ cho $K$ trong $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $1320$ bằng $K$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 1320 + 60 x)}}{6}$

Bước 7.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Cộng $3$ và $1320$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 1323 + 60 x)}}{6}$

Bước 7.2.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 60 x + 1323)}}{6}$