Giải tích Ví dụ

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$

Bước 1

Giả sử tất cả các nghiệm đều có dạng $x = e^{r t}$ .

Bước 2

Tìm phương trình đặc trưng của $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

$\frac{d x}{d t} = r e^{r t}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

Bước 2.3

Thay vào phương trình vi phân.

$r^{2} e^{r t} + 4 (r e^{r t}) + 5 e^{r t} = 10$

Bước 2.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

Bước 2.5

Đưa $e^{r t}$ ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $e^{r t}$ ra ngoài $r^{2} e^{r t}$ .

$e^{r t} r^{2} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

Bước 2.5.2

Đưa $e^{r t}$ ra ngoài $4 r e^{r t}$ .

$e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r) + 5 e^{r t} = 10$

Bước 2.5.3

Đưa $e^{r t}$ ra ngoài $e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r)$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + 5 e^{r t} = 10$

Bước 2.5.4

Đưa $e^{r t}$ ra ngoài $5 e^{r t}$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5 = 10$

Bước 2.5.5

Đưa $e^{r t}$ ra ngoài $e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r + 5) = 10$

Bước 2.6

Vì số mũ không bao giờ bằng không, hãy chia cả hai vế cho $e^{r t}$ .

$r^{2} + 4 r + 5 = 10$

Bước 3

Giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Trừ $10$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$r^{2} + 4 r + 5 - 10 = 0$

Bước 3.2

Trừ $10$ khỏi $5$ .

$r^{2} + 4 r - 5 = 0$

Bước 3.3

Phân tích $r^{2} + 4 r - 5$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 5$ và tổng của chúng là $4$ .

$- 1, 5$

Bước 3.3.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(r - 1) (r + 5) = 0$

Bước 3.4

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$r - 1 = 0$

$r + 5 = 0$

Bước 3.5

Đặt $r - 1$ bằng $0$ và giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đặt $r - 1$ bằng với $0$ .

$r - 1 = 0$

Bước 3.5.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$r = 1$

Bước 3.6

Đặt $r + 5$ bằng $0$ và giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đặt $r + 5$ bằng với $0$ .

$r + 5 = 0$

Bước 3.6.2

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$r = - 5$

Bước 3.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(r - 1) (r + 5) = 0$ đúng.

$r = 1, - 5$

Bước 4

Với hai giá trị $r$ tìm được, ta có thể lập hai nghiệm.

$x_{1} = e^{1 t}$

$x_{2} = e^{- 5 t}$

Bước 5

Theo nguyên lý chồng chập, nghiệm tổng quát là tổ hợp tuyến tính gồm hai nghiệm đối với phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2.

$x = c_{1} e^{1 t} + c_{2} e^{- 5 t}$

Bước 6

Nhân $t$ với $1$ .

$x = c_{1} e^{t} + c_{2} e^{- 5 t}$