Giải tích Ví dụ

$\frac{d r}{d θ} = - r \tan (θ)$ , $r (π) = 2$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{r}$ .

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} (- r \tan (θ))$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \frac{1}{r} (r \tan (θ))$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{r}$ vào tử số.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

Bước 1.2.2.2

Đưa $r$ ra ngoài $r \tan (θ)$ .

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r (\tan (θ)))$

Bước 1.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

Bước 1.2.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \tan (θ)$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{r} d r = - \tan (θ) d θ$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{r} d r = \int - \tan (θ) d θ$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{r}$ đối với $r$ là $\ln (| r |)$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = \int - \tan (θ) d θ$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $θ$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| r |) + C_{1} = - \int \tan (θ) d θ$

Bước 2.3.2

Tích phân của $\tan (θ)$ đối với $θ$ là $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = - (\ln (| \sec (θ) |) + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

$\ln (| r |) + C_{1} = - \ln (| \sec (θ) |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| r |) = - \ln (| \sec (θ) |) + C$

Bước 3

Giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| r |) + \ln (| \sec (θ) |) = C$

Bước 3.2

Sử dụng tính chất tích số của logarit, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| r | | \sec (θ) |) = C$

Bước 3.3

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$\ln (| r \sec (θ) |) = C$

Bước 3.4

Để giải tìm $r$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| r \sec (θ) |)} = e^{C}$

Bước 3.5

Viết lại $\ln (| r \sec (θ) |) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | r \sec (θ) |$

Bước 3.6

Giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Viết lại phương trình ở dạng $| r \sec (θ) | = e^{C}$ .

$| r \sec (θ) | = e^{C}$

Bước 3.6.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$r \sec (θ) = \pm e^{C}$

Bước 3.6.3

Chia mỗi số hạng trong $r \sec (θ) = \pm e^{C}$ cho $\sec (θ)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $r \sec (θ) = \pm e^{C}$ cho $\sec (θ)$ .

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Bước 3.6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sec (θ)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Bước 3.6.3.2.1.2

Chia $r$ cho $1$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Bước 3.6.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.3.1

Tách các phân số.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (θ)}$

Bước 3.6.3.3.2

Viết lại $\sec (θ)$ theo sin và cosin.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Bước 3.6.3.3.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} (1 \cos (θ))$

Bước 3.6.3.3.4

Nhân $\cos (θ)$ với $1$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cos (θ)$

Bước 3.6.3.3.5

Chia $\pm e^{C}$ cho $1$ .

$r = (\pm e^{C}) \cos (θ)$

Bước 3.6.3.3.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $(\pm e^{C}) \cos (θ)$ .

$r = \cos (θ) (\pm e^{C})$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$r = \cos (θ) C$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $π$ cho $θ$ và $2$ cho $r$ trong $r = \cos (θ) C$ .

$2 = \cos (π) C$

Bước 6

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $\cos (π) C = 2$ .

$\cos (π) C = 2$

Bước 6.2

Chia mỗi số hạng trong $\cos (π) C = 2$ cho $\cos (π)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $\cos (π) C = 2$ cho $\cos (π)$ .

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (π)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

Bước 6.2.2.1.2

Chia $C$ cho $1$ .

$C = \frac{2}{\cos (π)}$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Tách các phân số.

$C = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (π)}$

Bước 6.2.3.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (π)}$ sang $\sec (π)$ .

$C = \frac{2}{1} \sec (π)$

Bước 6.2.3.3

Chia $2$ cho $1$ .

$C = 2 \sec (π)$

Bước 6.2.3.4

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì secant âm trong góc phần tư thứ hai.

$C = 2 (- \sec (0))$

Bước 6.2.3.5

Giá trị chính xác của $\sec (0)$ là $1$ .

$C = 2 (- 1 \cdot 1)$

Bước 6.2.3.6

Nhân $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.6.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$C = 2 \cdot - 1$

Bước 6.2.3.6.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$C = - 2$

Bước 7

Thay $- 2$ cho $C$ trong $r = \cos (θ) C$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $- 2$ bằng $C$ .

$r = \cos (θ) \cdot - 2$

Bước 7.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $\cos (θ)$ .

$r = - 2 \cos (θ)$