Giải tích Ví dụ

$e^{y} d x + (\cos (y) + x e^{y}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ là $a^{y} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{y}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = \cos (y) + x e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (y) + x e^{y}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (y) + x e^{y}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

Bước 2.2.2

Vì $\cos (y)$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\cos (y)$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $e^{y}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x e^{y}$ đối với $x$ là $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + e^{y} \cdot 1$

Bước 2.3.3

Nhân $e^{y}$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + e^{y}$

Bước 2.4

Cộng $0$ và $e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $e^{y}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $e^{y}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$e^{y} = e^{y}$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$e^{y} = e^{y}$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = e^{y}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = e^{y} x + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos (y) + x e^{y}$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x + g (y)] = \cos (y) + x e^{y}$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{y} x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (y) + x e^{y}$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [e^{y} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $e^{y} x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (y) + x e^{y}$

Bước 8.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ là $a^{y} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (y) + x e^{y}$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x e^{y} + \frac{d g}{d y} = \cos (y) + x e^{y}$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + e^{y} x = \cos (y) + x e^{y}$

Bước 8.5.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d y} + e^{y} x$ .

$\frac{d g}{d y} + x e^{y} = \cos (y) + x e^{y}$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $x e^{y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = \cos (y) + x e^{y} - x e^{y}$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\cos (y) + x e^{y} - x e^{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $x e^{y}$ khỏi $x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (y) + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $\cos (y)$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (y)$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $\cos (y)$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = \cos (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \cos (y) d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \cos (y) d y$

Bước 10.3

Tích phân của $\cos (y)$ đối với $y$ là $\sin (y)$ .

$g (y) = \sin (y) + C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = e^{y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{y} x + \sin (y) + C$

Bước 12

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = e^{y} x + \sin (y) + C$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \sin (y) + C$