Giải tích Ví dụ

$\frac{d I}{d t} + 5 I = 10$ , $I (0) = 0$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (t) d t}$ , trong đó $P (t) = 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int 5 d t}$

Bước 1.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{5 t + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{5 t}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{5 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $e^{5 t}$ .

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + e^{5 t} (5 I) = e^{5 t} \cdot 10$

Bước 2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = e^{5 t} \cdot 10$

Bước 2.3

Di chuyển $10$ sang phía bên trái của $e^{5 t}$ .

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = 10 \cdot e^{5 t}$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 e^{5 t} I = 10 e^{5 t}$ .

$e^{5 t} \frac{d I}{d t} + 5 I e^{5 t} = 10 e^{5 t}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d t} [e^{5 t} I] = 10 e^{5 t}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d t} [e^{5 t} I] d t = \int 10 e^{5 t} d t$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$e^{5 t} I = \int 10 e^{5 t} d t$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $10$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $10$ ra khỏi tích phân.

$e^{5 t} I = 10 \int e^{5 t} d t$

Bước 6.2

Giả sử $u = 5 t$ . Sau đó $d u = 5 d t$ , nên $\frac{1}{5} d u = d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Hãy đặt $u = 5 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Tính đạo hàm $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

Bước 6.2.1.2

Vì $5$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $5 t$ đối với $t$ là $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 6.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Bước 6.2.1.4

Nhân $5$ với $1$ .

$5$

Bước 6.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{5 t} I = 10 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Bước 6.3

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 t} I = 10 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Bước 6.4

Vì $\frac{1}{5}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{5}$ ra khỏi tích phân.

$e^{5 t} I = 10 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Bước 6.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $10$ .

$e^{5 t} I = \frac{10}{5} \int e^{u} d u$

Bước 6.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $10$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $10$ .

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5} \int e^{u} d u$

Bước 6.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5 (1)} \int e^{u} d u$

Bước 6.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{5 t} I = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Bước 6.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$e^{5 t} I = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Bước 6.5.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$e^{5 t} I = 2 \int e^{u} d u$

Bước 6.6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{5 t} I = 2 (e^{u} + C)$

Bước 6.7

Rút gọn.

$e^{5 t} I = 2 e^{u} + C$

Bước 6.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $5 t$ .

$e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$

Bước 7

Chia mỗi số hạng trong $e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$ cho $e^{5 t}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{5 t} I = 2 e^{5 t} + C$ cho $e^{5 t}$ .

$\frac{e^{5 t} I}{e^{5 t}} = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Bước 7.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{5 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{5 t} I}{e^{5 t}} = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Bước 7.2.1.2

Chia $I$ cho $1$ .

$I = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Bước 7.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{5 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$I = \frac{2 e^{5 t}}{e^{5 t}} + \frac{C}{e^{5 t}}$

Bước 7.3.1.2

Chia $2$ cho $1$ .

$I = 2 + \frac{C}{e^{5 t}}$

Bước 8

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $t$ và $0$ cho $I$ trong $I = 2 + \frac{C}{e^{5 t}}$ .

$0 = 2 + \frac{C}{e^{5 \cdot 0}}$

Bước 9

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 + \frac{C}{e^{5 \cdot 0}} = 0$ .

$2 + \frac{C}{e^{5 \cdot 0}} = 0$

Bước 9.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1.1

Nhân $5$ với $0$ .

$2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Bước 9.2.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$2 + \frac{C}{1} = 0$

Bước 9.2.2

Chia $C$ cho $1$ .

$2 + C = 0$

Bước 9.3

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = - 2$

Bước 10

Thay $- 2$ cho $C$ trong $I = 2 + \frac{C}{e^{5 t}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay $- 2$ bằng $C$ .

$I = 2 + \frac{- 2}{e^{5 t}}$

Bước 10.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$I = 2 - \frac{2}{e^{5 t}}$