Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = 4$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = 4$

Bước 1.2

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = 4$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\ln (x)}$

Bước 2.4

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x \cdot 4$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cdot 4$

Bước 3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x \cdot 4$

Bước 3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \cdot 4$

Bước 3.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 4 x$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x y] = 4 x$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 4 x d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$x y = \int 4 x d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$x y = 4 \int x d x$

Bước 7.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 7.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Viết lại $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$x y = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Bước 7.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{4}{2} x^{2} + C$

Bước 7.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Bước 7.3.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C$

Bước 7.3.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x y = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Bước 7.3.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$x y = \frac{2}{1} x^{2} + C$

Bước 7.3.2.2.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$x y = 2 x^{2} + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $x y = 2 x^{2} + C$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $x y = 2 x^{2} + C$ cho $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x^{2}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x} + \frac{C}{x}$

Bước 8.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Bước 8.3.1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Bước 8.3.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Bước 8.3.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{2 x}{1} + \frac{C}{x}$

Bước 8.3.1.2.5

Chia $2 x$ cho $1$ .

$y = 2 x + \frac{C}{x}$