Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = {(e^{x} - e^{- x})}^{2}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Viết lại ${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ ở dạng $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ .

$y + C_{1} = \int (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) d x$

Bước 2.3.1.2

Khai triển $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + C_{1} = \int e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

Bước 2.3.1.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

Bước 2.3.1.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + C_{1} = \int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 2.3.1.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1.1

Nhân $e^{x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y + C_{1} = \int e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 2.3.1.3.1.1.2

Cộng $x$ và $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 2.3.1.3.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 2.3.1.3.1.3

Nhân $e^{x}$ với $e^{- x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1.3.1

Di chuyển $e^{- x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 2.3.1.3.1.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 2.3.1.3.1.3.3

Cộng $- x$ và $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 2.3.1.3.1.4

Rút gọn $- e^{0}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 2.3.1.3.1.5

Nhân $e^{- x}$ với $e^{x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1.5.1

Di chuyển $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 2.3.1.3.1.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 2.3.1.3.1.5.3

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 2.3.1.3.1.6

Rút gọn $- e^{0}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

Bước 2.3.1.3.1.7

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x} d x$

Bước 2.3.1.3.1.8

Nhân $e^{- x}$ với $e^{- x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1.8.1

Di chuyển $e^{- x}$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}) d x$

Bước 2.3.1.3.1.8.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x} d x$

Bước 2.3.1.3.1.8.3

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} d x$

Bước 2.3.1.3.1.9

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x} d x$

Bước 2.3.1.3.1.10

Nhân $e^{- 2 x}$ với $1$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x} d x$

Bước 2.3.1.3.2

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$y + C_{1} = \int e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x} d x$

Bước 2.3.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int e^{2 x} d x + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Bước 2.3.3

Giả sử $u_{1} = 2 x$ . Sau đó $d u_{1} = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Hãy đặt $u_{1} = 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3.3.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.3.3.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.3.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Bước 2.3.4

Kết hợp $e^{u_{1}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Bước 2.3.5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Bước 2.3.6

Tích phân của $e^{u_{1}}$ đối với $u_{1}$ là $e^{u_{1}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - 2 d x + \int e^{- 2 x} d x$

Bước 2.3.7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{- 2 x} d x$

Bước 2.3.8

Giả sử $u_{2} = - 2 x$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Hãy đặt $u_{2} = - 2 x$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1.1

Tính đạo hàm $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Bước 2.3.8.1.2

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.8.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Bước 2.3.8.1.4

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2$

Bước 2.3.8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 2.3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.9.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Bước 2.3.9.2

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} + \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 2.3.10

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 2.3.11

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 2.3.12

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - 2 x + C_{3} - \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{4})$

Bước 2.3.13

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u_{1}} - 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

Bước 2.3.14

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.14.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{u_{2}} + C_{5}$

Bước 2.3.14.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C_{5}$

Bước 2.3.15

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 x + C_{5}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} - 2 x + K$