Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + \ln (x)}{x}$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại phương trình ở dạng $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tách phân số $\frac{y + \ln (x)}{x}$ thành hai phân số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 1.1.2

Trừ $\frac{y}{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 1.2

Đưa $y$ ra ngoài $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 1.3

Sắp xếp lại $y$ và $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $- \frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- \ln (x)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{- 1}$

Bước 2.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 3.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 3.2.4

Nhân $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Nhân $\frac{y}{x}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 3.2.4.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 3.2.4.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 3.2.4.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 3.2.4.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 3.3

Nhân $\frac{1}{x} \cdot \frac{\ln (x)}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x \cdot x}$

Bước 3.3.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1} x}$

Bước 3.3.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1} x^{1}}$

Bước 3.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{1 + 1}}$

Bước 3.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{\ln (x)}{x^{2}}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{\ln (x)}{x^{2}} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 7.1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 7.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = \int \ln (x) x^{- 2} d x$

Bước 7.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \ln (x)$ và $d v = x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x} y = \ln (x) (- \frac{1}{x}) - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Kết hợp $\ln (x)$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Bước 7.3.2

Nhân $\frac{1}{x}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x \cdot x} d x$

Bước 7.3.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x} d x$

Bước 7.3.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Bước 7.3.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Bước 7.3.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 7.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 7.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + 1 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 7.5.1.2

Nhân $\int \frac{1}{x^{2}} d x$ với $1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Bước 7.5.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 7.5.2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 7.5.2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} + \int x^{- 2} d x$

Bước 7.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$

Bước 7.7

Viết lại $- \frac{\ln (x)}{x} - x^{- 1} + C$ ở dạng $- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Cộng $\frac{\ln (x)}{x}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} = - \frac{1}{x} + C$

Bước 8.1.2

Cộng $\frac{1}{x}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} = C$

Bước 8.1.3

Trừ $C$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{1}{x} y + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} - C = 0$

Bước 8.1.4

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $y$ .

$\frac{y}{x} + \frac{\ln (x)}{x} + \frac{1}{x} - C = 0$

Bước 8.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Trừ $\frac{\ln (x)}{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y}{x} + \frac{1}{x} - C = - \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 8.2.2

Trừ $\frac{1}{x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y}{x} - C = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x}$

Bước 8.2.3

Cộng $C$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{y}{x} = - \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C$

Bước 8.3

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Bước 8.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Bước 8.4.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$

Bước 8.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Rút gọn $(- \frac{\ln (x)}{x} - \frac{1}{x} + C) x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{\ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Bước 8.4.2.1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{\ln (x)}{x}$ vào tử số.

$y = \frac{- \ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Bước 8.4.2.1.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{- \ln (x)}{x} x - \frac{1}{x} x + C x$

Bước 8.4.2.1.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$y = - \ln (x) - \frac{1}{x} x + C x$

Bước 8.4.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1.2.2.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x}$ vào tử số.

$y = - \ln (x) + \frac{- 1}{x} x + C x$

Bước 8.4.2.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - \ln (x) + \frac{- 1}{x} x + C x$

Bước 8.4.2.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = - \ln (x) - 1 + C x$

Bước 8.4.2.1.3

Di chuyển $- 1$ .

$y = - \ln (x) + C x - 1$

Bước 8.4.2.1.4

Sắp xếp lại $- \ln (x)$ và $C x$ .

$y = C x - \ln (x) - 1$