Giải tích Ví dụ

$\frac{d r}{d q} = \frac{2000}{\sqrt{300 q}}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d r = \frac{2000}{\sqrt{300 q}} d q$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d r = \int \frac{2000}{\sqrt{300 q}} d q$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$r + C_{1} = \int \frac{2000}{\sqrt{300 q}} d q$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2000$ không đổi đối với $q$ , hãy di chuyển $2000$ ra khỏi tích phân.

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{\sqrt{300 q}} d q$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 300 q$ . Sau đó $d u = 300 d q$ , nên $\frac{1}{300} d u = d q$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 300 q$ . Tìm $\frac{d u}{d q}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $300 q$ .

$\frac{d}{d q} [300 q]$

Bước 2.3.2.1.2

Vì $300$ không đổi đối với $q$ , nên đạo hàm của $300 q$ đối với $q$ là $300 \frac{d}{d q} [q]$ .

$300 \frac{d}{d q} [q]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ là $n q^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$300 \cdot 1$

Bước 2.3.2.1.4

Nhân $300$ với $1$ .

$300$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{300} d u$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{300}$ .

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 300} d u$

Bước 2.3.3.2

Di chuyển $300$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$r + C_{1} = 2000 \int \frac{1}{300 \sqrt{u}} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{300}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{300}$ ra khỏi tích phân.

$r + C_{1} = 2000 (\frac{1}{300} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 2.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.1

Kết hợp $\frac{1}{300}$ và $2000$ .

$r + C_{1} = \frac{2000}{300} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 2.3.5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $2000$ và $300$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.2.1

Đưa $100$ ra ngoài $2000$ .

$r + C_{1} = \frac{100 (20)}{300} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 2.3.5.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.2.2.1

Đưa $100$ ra ngoài $300$ .

$r + C_{1} = \frac{100 \cdot 20}{100 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 2.3.5.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$r + C_{1} = \frac{100 \cdot 20}{100 \cdot 3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 2.3.5.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 2.3.5.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 2.3.5.2.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 2.3.5.2.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 2.3.5.2.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 2.3.5.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 2.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Viết lại $\frac{20}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ ở dạng $\frac{20}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{20}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Kết hợp $\frac{20}{3}$ và $2$ .

$r + C_{1} = \frac{20 \cdot 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.7.2.2

Nhân $20$ với $2$ .

$r + C_{1} = \frac{40}{3} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $300 q$ .

$r + C_{1} = \frac{40}{3} {(300 q)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$r = \frac{40}{3} {(300 q)}^{\frac{1}{2}} + K$