Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{1 + x}$ , $y (0) = 3$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{4}{1 + x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{4}{1 + x} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{1 + x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{1 + x} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 1 + x$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 1 + x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 2.3.2.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.3

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$y + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 2.3.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x$ .

$y + C_{1} = 4 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y = 4 \ln (| 1 + x |) + C$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $3$ cho $y$ trong $y = 4 \ln (| 1 + x |) + C$ .

$3 = 4 \ln (| 1 + 0 |) + C$

Bước 4

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $4 \ln (| 1 + 0 |) + C = 3$ .

$4 \ln (| 1 + 0 |) + C = 3$

Bước 4.2

Rút gọn $4 \ln (| 1 + 0 |) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $1$ và $0$ .

$4 \ln (| 1 |) + C = 3$

Bước 4.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$4 \ln (1) + C = 3$

Bước 4.2.2.2

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$4 \cdot 0 + C = 3$

Bước 4.2.2.3

Nhân $4$ với $0$ .

$0 + C = 3$

Bước 4.2.3

Cộng $0$ và $C$ .

$C = 3$

Bước 5

Thay $3$ cho $C$ trong $y = 4 \ln (| 1 + x |) + C$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $3$ bằng $C$ .

$y = 4 \ln (| 1 + x |) + 3$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn $4 \ln (| 1 + x |)$ bằng cách di chuyển $4$ trong logarit.

$y = \ln ({| 1 + x |}^{4}) + 3$

Bước 5.2.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| 1 + x |}^{4}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$y = \ln ({(1 + x)}^{4}) + 3$