Giải tích Ví dụ

$(\arctan (x) + x y) d x + (e^{y} + \frac{x^{2}}{2}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = \arctan (x) + x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x) + x y]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\arctan (x) + x y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\arctan (x)] + \frac{d}{d y} [x y]$

Bước 1.2.2

Vì $\arctan (x)$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $\arctan (x)$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

Bước 1.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

Bước 1.4

Cộng $0$ và $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{x^{2}}{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Bước 2.2.2

Vì $e^{y}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $e^{y}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{2}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{2} (2 x)$

Bước 2.3.3

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2}{2} x$

Bước 2.3.4

Kết hợp $\frac{2}{2}$ và $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

Bước 2.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{2 x}{2}$

Bước 2.3.5.2

Chia $x$ cho $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + x$

Bước 2.4

Cộng $0$ và $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $x$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $x$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = x$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$x = x$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{y} + \frac{x^{2}}{2} d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int e^{y} d y + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

Bước 5.2

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \int \frac{x^{2}}{2} d y$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2}}{2} y + C$

Bước 5.4

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}$ và $y$ .

$f (x, y) = e^{y} + C + \frac{x^{2} y}{2} + C$

Bước 5.5

Rút gọn.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \arctan (x) + x y$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)] = \arctan (x) + x y$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Bước 8.2.2

Vì $e^{y}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $e^{y}$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Bước 8.3.2

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}$ và $y$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Bước 8.3.3

Vì $\frac{y}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{2} y}{2}$ đối với $x$ là $\frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{y}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Bước 8.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + \frac{y}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Bước 8.3.5

Kết hợp $2$ và $\frac{y}{2}$ .

$0 + \frac{2 y}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Bước 8.3.6

Kết hợp $\frac{2 y}{2}$ và $x$ .

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Bước 8.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + \frac{2 y x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Bước 8.3.7.2

Chia $y x$ cho $1$ .

$0 + y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = \arctan (x) + x y$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Cộng $0$ và $y x$ .

$y x + \frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y$

Bước 8.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + x y = \arctan (x) + x y$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Trừ $x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + x y - x y$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\arctan (x) + x y - x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $x y$ khỏi $x y$ .

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x) + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $\arctan (x)$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $\arctan (x)$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = \arctan (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \arctan (x) d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \arctan (x) d x$

Bước 10.3

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \arctan (x)$ và $d v = 1$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 10.4

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Bước 10.5

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.5.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 10.5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 10.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 10.5.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 10.5.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 10.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 10.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 10.6.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Bước 10.6.3

Nhân $2$ với $u$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 10.7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 10.8

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 10.9

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Bước 10.10

Rút gọn.

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Bước 10.11

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$g (x) = \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Bước 12

Rút gọn $f (x, y) = e^{y} + \frac{1}{2} x^{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2}}{2} y + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Bước 12.1.2

Kết hợp $\frac{x^{2}}{2}$ và $y$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Bước 12.1.3

Nhân $- \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.1

Sắp xếp lại $\ln (| x^{2} + 1 |)$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - (\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

Bước 12.1.3.2

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$f (x, y) = e^{y} + \frac{x^{2} y}{2} + \arctan (x) x - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Bước 12.2

Để viết $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Bước 12.3

Kết hợp $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y}{2} + \frac{- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Bước 12.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Bước 12.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Nhân $- \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Bước 12.5.1.2

Rút gọn $- 2 \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Bước 12.5.2

Nhân các số mũ trong ${({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Bước 12.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Bước 12.5.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln ({| x^{2} + 1 |}^{1})}{2} + C$

Bước 12.5.3

Rút gọn.

$f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Bước 12.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = e^{y} + \arctan (x) x + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$ .

$f (x, y) = e^{y} + x \arctan (x) + \frac{x^{2} y - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$