Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = - 5 e^{x + 5}$ , $y (- 5) = 7$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = - 5 e^{x + 5} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int - 5 e^{x + 5} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int - 5 e^{x + 5} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 5$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - 5 \int e^{x + 5} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = x + 5$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = x + 5$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 2.3.2.1.4

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.3.2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = - 5 \int e^{u} d u$

Bước 2.3.3

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - 5 (e^{u} + C_{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn.

$y + C_{1} = - 5 e^{u} + C_{2}$

Bước 2.3.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 5$ .

$y + C_{1} = - 5 e^{x + 5} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = - 5 e^{x + 5} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $- 5$ cho $x$ và $7$ cho $y$ trong $y = - 5 e^{x + 5} + K$ .

$7 = - 5 e^{- 5 + 5} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 5 e^{- 5 + 5} + K = 7$ .

$- 5 e^{- 5 + 5} + K = 7$

Bước 4.2

Rút gọn $- 5 e^{- 5 + 5} + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Cộng $- 5$ và $5$ .

$- 5 e^{0} + K = 7$

Bước 4.2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$- 5 \cdot 1 + K = 7$

Bước 4.2.2.2

Nhân $- 5$ với $1$ .

$- 5 + K = 7$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $5$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = 7 + 5$

Bước 4.3.2

Cộng $7$ và $5$ .

$K = 12$

Bước 5

Thay $12$ cho $K$ trong $y = - 5 e^{x + 5} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $12$ bằng $K$ .

$y = - 5 e^{x + 5} + 12$