Giải tích Ví dụ

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$

Bước 1

Giả sử tất cả các nghiệm đều có dạng $y = e^{r x}$ .

Bước 2

Tìm phương trình đặc trưng của $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} - 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bậc một.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Bước 2.3

Thay vào phương trình vi phân.

$r^{2} e^{r x} - 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Bước 2.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$r^{2} e^{r x} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Bước 2.5

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} - 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Bước 2.5.2

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $- 3 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Bước 2.5.3

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (- 3 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + 2 e^{r x} = 4 x^{2}$

Bước 2.5.4

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $2 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 4 x^{2}$

Bước 2.5.5

Đưa $e^{r x}$ ra ngoài $e^{r x} (r^{2} - 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ .

$e^{r x} (r^{2} - 3 r + 2) = 4 x^{2}$

Bước 2.6

Vì số mũ không bao giờ bằng không, hãy chia cả hai vế cho $e^{r x}$ .

$r^{2} - 3 r + 2 = 4 x^{2}$

Bước 3

Giải tìm $r$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Trừ $4 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$r^{2} - 3 r + 2 - 4 x^{2} = 0$

Bước 3.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.3

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 3$ , và $c = 2 - 4 x^{2}$ vào công thức bậc hai và giải tìm $r$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (2 - 4 x^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.4

Nhân $- 4$ với $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.5

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.6

Trừ $8$ khỏi $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Bước 3.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.4

Nhân $- 4$ với $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.5

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.1.6

Trừ $8$ khỏi $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.5.2

Nhân $2$ với $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Bước 3.5.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot (2 - 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.4

Nhân $- 4$ với $2$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 - 4 (- 4 x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.5

Nhân $- 4$ với $- 4$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.1.6

Trừ $8$ khỏi $9$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.6.2

Nhân $2$ với $1$ .

$r = \frac{3 \pm \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Bước 3.6.3

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Bước 3.7

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

$r = \frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$

Bước 4

Với hai giá trị $r$ tìm được, ta có thể lập hai nghiệm.

$y_{1} = e^{\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

$y_{2} = e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

Bước 5

Theo nguyên lý chồng chập, nghiệm tổng quát là tổ hợp tuyến tính gồm hai nghiệm đối với phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2.

$y = c_{1} e^{\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

Bước 6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$ và $x$ .

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2} x}$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}}{2}$ và $x$ .

$y = c_{1} e^{\frac{(3 + \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}} + c_{2} e^{\frac{(3 - \sqrt{1 + 16 x^{2}}) x}{2}}$