Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} (x)$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \cos^{2} (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (x)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Bước 2.3.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Bước 2.3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Bước 2.3.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int \cos (2 x) d x)$

Bước 2.3.5

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3.5.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.3.5.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.3.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 2.3.6

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 2.3.7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Bước 2.3.8

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{3}))$

Bước 2.3.9

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{4}$

Bước 2.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C_{4}$

Bước 2.3.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C_{4}$

Bước 2.3.11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Bước 2.3.11.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$y + C_{1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Bước 2.3.11.4

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C_{4}$

Bước 2.3.11.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C_{4}$

Bước 2.3.12

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + K$