Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$ , $y (0) = 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x)$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1 + y^{2}}{y}$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} (\frac{y}{1 + y^{2}} \cos (x))$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Kết hợp $\frac{y}{1 + y^{2}}$ và $\cos (x)$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2}}{y} \cdot \frac{y \cos (x)}{1 + y^{2}}$

Bước 1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Bước 1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y \cos (x)$ .

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Bước 1.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Bước 1.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + y^{2}}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1 + y^{2}}{y} d y = \cos (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1 + y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int \frac{1}{y} + \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y^{2}}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $y^{2}$ và $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.3.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y}{1} d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.3.2.5

Chia $y$ cho $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.4

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int y d y = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.6

Rút gọn.

$\ln (| y |) + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Bước 2.2.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \int \cos (x) d x$

Bước 2.3

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) + C_{3} = \sin (x) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |) = \sin (0) + C$

Bước 4

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

$\sin (0) + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn $\sin (0) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$0 + C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Bước 4.2.1.2

Cộng $0$ và $C$ .

$C = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$

Bước 4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn $\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \ln (| 1 |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$C = \frac{1}{2} \cdot 1 + \ln (| 1 |)$

Bước 4.3.1.1.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (| 1 |)$

Bước 4.3.1.1.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$C = \frac{1}{2} + \ln (1)$

Bước 4.3.1.1.4

Logarit tự nhiên của $1$ là $0$ .

$C = \frac{1}{2} + 0$

Bước 4.3.1.2

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$C = \frac{1}{2}$

Bước 5

Thay $\frac{1}{2}$ cho $C$ trong $\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + C$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $\frac{1}{2}$ bằng $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$

Bước 5.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + \ln (| y |) = \sin (x) + \frac{1}{2}$