Giải tích Ví dụ

$\frac{x (d y)}{d x} = 2 y$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $\frac{d y}{d x}$ ra ngoài.

$x \frac{d y}{d x} = 2 y$

Bước 1.2

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} = 2 y$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d y}{d x} = 2 y$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2 y}{x}$

Bước 1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{2 y}{x}$

Bước 1.2.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{x}$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{2 y}{x}$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $y$ ra ngoài $2 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 2}{x}$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 2}{x}$

Bước 1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| x |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| x |) = C$

Bước 3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn $\ln (| y |) - 2 \ln (| x |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Rút gọn $- 2 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\ln (| y |) - \ln ({| x |}^{2}) = C$

Bước 3.2.1.1.2

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$\ln (| y |) - \ln (x^{2}) = C$

Bước 3.2.1.2

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = C$

Bước 3.3

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (\frac{| y |}{x^{2}})} = e^{C}$

Bước 3.4

Viết lại $\ln (\frac{| y |}{x^{2}}) = C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{x^{2}}$

Bước 3.5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{| y |}{x^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{x^{2}} = e^{C}$

Bước 3.5.2

Nhân cả hai vế với $x^{2}$ .

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

Bước 3.5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{| y |}{x^{2}} x^{2} = e^{C} x^{2}$

Bước 3.5.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$| y | = e^{C} x^{2}$

Bước 3.5.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{C} x^{2}$ .

$| y | = x^{2} e^{C}$

Bước 3.5.4

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm x^{2} e^{C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \pm x^{2} C$

Bước 4.2

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C x^{2}$