Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{3 y}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{3 y}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $3 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{y \cdot 3}$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{\sqrt{x}}{y \cdot 3}$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{3}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$y d y = \frac{\sqrt{x}}{3} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y d y = \int \frac{\sqrt{x}}{3} d x$

Bước 2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{3} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \int \sqrt{x} d x$

Bước 2.3.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Bước 2.3.4

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Viết lại $\frac{1}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ ở dạng $\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.2.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.4.2.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{9} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{2}{9} x^{\frac{3}{2}} + K$