Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{x} \cdot \frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x^{2}} = x \cos (x)$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $y$ ra ngoài $- \frac{2 y}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x^{2}}) = x \cos (x)$

Bước 1.2

Sắp xếp lại $y$ và $- \frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{2}{x^{2}} y = x \cos (x)$

Bước 1.3

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} - \frac{2}{x^{2}} y = x \cos (x)$ với $x$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} x - \frac{2}{x^{2}} y x = x \cos (x) x$

Bước 1.4

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} x - \frac{2}{x^{2}} y x = x \cos (x) x$

Bước 1.5

Kết hợp $\frac{\frac{d y}{d x}}{x}$ và $x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{2}{x^{2}} y x = x \cos (x) x$

Bước 1.6

Kết hợp $y$ và $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{y \cdot 2}{x^{2}} x = x \cos (x) x$

Bước 1.7

Kết hợp $x$ và $\frac{y \cdot 2}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x \cos (x) x$

Bước 1.8

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{1} x \cos (x)$

Bước 1.9

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{1} x^{1} \cos (x)$

Bước 1.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{1 + 1} \cos (x)$

Bước 1.11

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{2} \cos (x)$

Bước 1.12

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x} x}{x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{2} \cos (x)$

Bước 1.12.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x y \cdot 2}{x^{2}} = x^{2} \cos (x)$

Bước 1.13

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.1

Đưa $x$ ra ngoài $x y \cdot 2$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x^{2}} = x^{2} \cos (x)$

Bước 1.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.13.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x \cdot x} = x^{2} \cos (x)$

Bước 1.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x (y \cdot 2)}{x \cdot x} = x^{2} \cos (x)$

Bước 1.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y \cdot 2}{x} = x^{2} \cos (x)$

Bước 1.14

Sắp xếp lại $y$ và $2$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 \cdot y}{x} = x^{2} \cos (x)$

Bước 1.15

Đưa $y$ ra ngoài $- \frac{2 \cdot y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = x^{2} \cos (x)$

Bước 1.16

Sắp xếp lại $y$ và $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = x^{2} \cos (x)$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = - \frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $- \frac{2}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Bước 2.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 2.2.4

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$x^{- 2}$

Bước 2.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{2}}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

Bước 3.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{2}{x}$ và $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

Bước 3.2.4

Nhân $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.1

Nhân $\frac{2 y}{x}$ với $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

Bước 3.2.4.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.4.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

Bước 3.2.4.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

Bước 3.2.4.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} \cos (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (\cos (x)))$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} \cos (x))$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \cos (x)$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \cos (x)$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \cos (x) d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \cos (x) d x$

Bước 7

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \sin (x) + C$

Bước 8

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{2}}$ và $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = \sin (x) + C$

Bước 8.2

Nhân cả hai vế với $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\sin (x) + C) x^{2}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (\sin (x) + C) x^{2}$

Bước 8.3.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = (\sin (x) + C) x^{2}$

Bước 8.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Rút gọn $(\sin (x) + C) x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \sin (x) x^{2} + C x^{2}$

Bước 8.3.2.1.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\sin (x) x^{2} + C x^{2}$ .

$y = x^{2} \sin (x) + C x^{2}$

Bước 8.3.2.1.2.2

Sắp xếp lại $x^{2} \sin (x)$ và $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} + x^{2} \sin (x)$