Giải tích Ví dụ

$2 x (y d) y = (x^{2} - y^{2}) d x$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $(x^{2} - y^{2}) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x y d y - (x^{2} - y^{2}) d x = 0$

Bước 1.2

Viết lại.

$- (x^{2} - y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = - (x^{2} - y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} - y^{2})]$

Bước 2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- (x^{2} - y^{2})$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Bước 2.4

Vì $x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}])$

Bước 2.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 2.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 2.7

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 2.7.2

Nhân $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 2.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y]$

Bước 3.2

Vì $2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $x$ là $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $2 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = 2 y$

Bước 4.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$2 y = 2 y$ là một đẳng thức.

Bước 5

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x^{2} - y^{2}) d x$

Bước 6

Lấy tích phân $M (x, y) = - (x^{2} - y^{2})$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = - \int x^{2} - y^{2} d x$

Bước 6.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = - (\int x^{2} d x + \int - y^{2} d x)$

Bước 6.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - y^{2} d x)$

Bước 6.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} + C - y^{2} x + C)$

Bước 6.5

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{3}}{3} + C - y^{2} x + C)$

Bước 6.6

Rút gọn.

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + C$

Bước 7

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + g (y)$

Bước 8

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y$

Bước 9

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + g (y)] = 2 x y$

Bước 9.2

Tính đạo hàm bằng quy tắc tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x) + g (y)] = 2 x y$

Bước 9.2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x) + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Bước 9.3

Tính $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x)$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x]$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Bước 9.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$ .

$- (\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Bước 9.3.3

Vì $\frac{x^{3}}{3}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $\frac{x^{3}}{3}$ đối với $y$ là $0$ .

$- (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Bước 9.3.4

Vì $- x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{2} x$ đối với $y$ là $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- (0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Bước 9.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- (0 - x (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Bước 9.3.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- (0 - 2 x y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Bước 9.3.7

Trừ $2 x y$ khỏi $0$ .

$- (- 2 x y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Bước 9.3.8

Nhân $- 2$ với $- 1$ .

$2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y$

Bước 9.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x y + \frac{d g}{d y} = 2 x y$

Bước 9.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = 2 x y$

Bước 10

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Trừ $2 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y - 2 x y$

Bước 10.1.2

Trừ $2 x y$ khỏi $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Bước 11

Tìm nguyên hàm của $0$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Bước 11.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Bước 11.3

Tích phân của $0$ đối với $y$ là $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Bước 11.4

Cộng $0$ và $C$ .

$g (y) = C$

Bước 12

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{3} x^{3} - y^{2} x) + C$

Bước 13

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{3}}{3} - y^{2} x) + C$

Bước 13.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3} - (- y^{2} x) + C$

Bước 13.3

Nhân $- (- y^{2} x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.3.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3} + 1 (y^{2} x) + C$

Bước 13.3.2

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{3}}{3} + y^{2} x + C$