Giải tích Ví dụ

$(x - y^{2} x) d x + (y - x^{2} y) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x - y^{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - y^{2} x]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - y^{2} x$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$

Bước 1.2.2

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2} x]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [- y^{2} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{2} x$ đối với $y$ là $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y)$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y$

Bước 1.4

Trừ $2 x y$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = y - x^{2} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y - x^{2} y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - x^{2} y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

Bước 2.2.2

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2} y$ đối với $x$ là $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - y (2 x)$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 y x$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Trừ $2 y x$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y x$

Bước 2.4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- 2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- 2 x y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 2 x y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x y = - 2 x y$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$- 2 x y = - 2 x y$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x - y^{2} x d x$

Bước 5

Lấy tích phân $M (x, y) = x - y^{2} x$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int x d x + \int - y^{2} x d x$

Bước 5.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - y^{2} x d x$

Bước 5.3

Vì $- y^{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- y^{2}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C - y^{2} \int x d x$

Bước 5.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 5.5

Rút gọn.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 5.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Bước 5.6.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

Bước 5.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2}) + C$

Bước 5.7.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) y^{2} + C$

Bước 5.7.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y - x^{2} y$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)] = y - x^{2} y$

Bước 8.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Bước 8.2.2

Vì $\frac{1}{2} x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Bước 8.3.2

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Bước 8.3.3

Vì $- \frac{x^{2}}{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- \frac{y^{2} x^{2}}{2}$ đối với $y$ là $- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Bước 8.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Bước 8.3.5

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 \frac{x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Bước 8.3.6

Kết hợp $- 2$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{- 2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Bước 8.3.7

Kết hợp $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ và $y$ .

$0 + \frac{- 2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Bước 8.3.8

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.8.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x^{2} y$ .

$0 + \frac{2 (- x^{2} y)}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Bước 8.3.8.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$0 + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Bước 8.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Bước 8.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$0 + \frac{- x^{2} y}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Bước 8.3.8.2.4

Chia $- x^{2} y$ cho $1$ .

$0 - x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y - x^{2} y$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$0 - x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y - x^{2} y$

Bước 8.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.5.1

Trừ $x^{2} y$ khỏi $0$ .

$- x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y - x^{2} y$

Bước 8.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} y = y - x^{2} y$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Cộng $x^{2} y$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = y - x^{2} y + x^{2} y$

Bước 9.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y - x^{2} y + x^{2} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Cộng $- x^{2} y$ và $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Bước 9.1.2.2

Cộng $y$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $y$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Bước 10.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 11

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 12.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 12.3

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 12.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + C$