Giải tích Ví dụ

$\frac{d x}{d y} = \frac{(1 + 2 y^{2})}{y \sin (x)}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{\sin (x)})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$

Bước 1.3.2

Viết lại theo sin và cosin, sau đó triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x)$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x) \sin (x)$

Bước 1.3.2.2

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\csc (x) \sin (x))$

Bước 1.3.2.3

Viết lại $\sin (x) (\frac{1 + 2 y^{2}}{y} \csc (x))$ theo sin và cosin.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} (\frac{1}{\sin (x)} \sin (x))$

Bước 1.3.2.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} \cdot 1$

Bước 1.3.3

Nhân $\frac{1 + 2 y^{2}}{y}$ với $1$ .

$\sin (x) \frac{d x}{d y} = \frac{1 + 2 y^{2}}{y}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\sin (x) d x = \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \sin (x) d x = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Bước 2.2

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1 + 2 y^{2}}{y} d y$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} + \frac{2 y^{2}}{y} d y$

Bước 2.3.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y^{2}}{y} d y$

Bước 2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $y^{2}$ và $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $2 y^{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y} d y$

Bước 2.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y^{1}} d y$

Bước 2.3.3.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

Bước 2.3.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{y (2 y)}{y \cdot 1} d y$

Bước 2.3.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int \frac{2 y}{1} d y$

Bước 2.3.3.2.5

Chia $2 y$ cho $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y + \int 2 y d y$

Bước 2.3.4

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + \int 2 y d y$

Bước 2.3.5

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 \int y d y$

Bước 2.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{3})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Rút gọn.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + \frac{2}{2} y^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.7.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + 1 y^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.7.2.3

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$- \cos (x) + C_{1} = \ln (| y |) + y^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \cos (x) + C_{1} = y^{2} + \ln (| y |) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$

Bước 3

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $- \cos (x) = y^{2} + \ln (| y |) + C$ cho $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 3.1.2.2

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\cos (x) = \frac{y^{2}}{- 1} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.1

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{y^{2}}{- 1}$ .

$\cos (x) = - 1 \cdot y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.2

Viết lại $- 1 \cdot y^{2}$ ở dạng $- y^{2}$ .

$\cos (x) = - y^{2} + \frac{\ln (| y |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.3

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{\ln (| y |)}{- 1}$ .

$\cos (x) = - y^{2} - 1 \cdot \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.4

Viết lại $- 1 \cdot \ln (| y |)$ ở dạng $- \ln (| y |)$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) + \frac{C}{- 1}$

Bước 3.1.3.1.5

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{C}{- 1}$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - 1 \cdot C$

Bước 3.1.3.1.6

Viết lại $- 1 \cdot C$ ở dạng $- C$ .

$\cos (x) = - y^{2} - \ln (| y |) - C$

Bước 3.2

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) - C)$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$x = \arccos (- y^{2} - \ln (| y |) + C)$