Giải tích Ví dụ

$(2 x^{3} y) d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x^{3} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} y]$

Bước 1.2

Vì $2 x^{3}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 x^{3} y$ đối với $y$ là $2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3} \cdot 1$

Bước 1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{3}$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x^{4} + y^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{4}]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} + y^{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{4}]$

Bước 2.4

Vì $y^{4}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{4}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3} + 0$

Bước 2.5

Cộng $4 x^{3}$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{3}$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2 x^{3}$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $4 x^{3}$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x^{3} = 4 x^{3}$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$2 x^{3} = 4 x^{3}$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $4 x^{3}$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 x^{3} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $2 x^{3}$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 x^{3} - (2 x^{3})}{M}$

Bước 4.3

Thay $2 x^{3} y$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $2 x^{3} y$ bằng $M$ .

$\frac{4 x^{3} - (2 x^{3})}{2 x^{3} y}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $4 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4 - 1 \cdot 2 x^{3}}{2 x^{3} y}$

Bước 4.3.2.1.2

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $- 1 \cdot 2 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4 + x^{3} (- 1 \cdot 2)}{2 x^{3} y}$

Bước 4.3.2.1.3

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{3} \cdot 4 + x^{3} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{x^{3} (4 - 1 \cdot 2)}{2 x^{3} y}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x^{3} (4 - 2)}{2 x^{3} y}$

Bước 4.3.2.3

Trừ $2$ khỏi $4$ .

$\frac{x^{3} \cdot 2}{2 x^{3} y}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{3} \cdot 2}{2 x^{3} y}$

Bước 4.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{2 y}$

Bước 4.3.4

Thay $2 x^{3} y$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2 y}$

Bước 4.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Bước 5.2.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = | y | + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $2 x^{3} y d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$ với hệ số tích phân $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $2 x^{3} y$ với $y$ .

$2 x^{3} y \cdot y d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

Bước 6.2

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Di chuyển $y$ .

$2 x^{3} (y \cdot y) d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

Bước 6.2.2

Nhân $y$ với $y$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} + y^{4}) d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $x^{4} + y^{4}$ với $y$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} + y^{4}) y d y = 0$

Bước 6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{4} y) d y = 0$

Bước 6.5

Nhân $y^{4}$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Nhân $y^{4}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{4} y^{1}) d y = 0$

Bước 6.5.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{4 + 1}) d y = 0$

Bước 6.5.2

Cộng $4$ và $1$ .

$2 x^{3} y^{2} d x + (x^{4} y + y^{5}) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{3} y^{2} d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = 2 x^{3} y^{2}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $2 y^{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2 y^{2}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 2 y^{2} \int x^{3} d x$

Bước 8.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Bước 8.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Viết lại $2 y^{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ ở dạng $2 y^{2} \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$f (x, y) = 2 y^{2} \frac{1}{4} x^{4} + C$

Bước 8.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = y^{2} \frac{2}{4} x^{4} + C$

Bước 8.3.2.2

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{2}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} \cdot 2}{4} x^{4} + C$

Bước 8.3.2.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot y^{2}}{4} x^{4} + C$

Bước 8.3.2.4

Nhân $2$ với $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2}}{4} x^{4} + C$

Bước 8.3.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 (y^{2})}{4} x^{4} + C$

Bước 8.3.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$f (x, y) = \frac{2 y^{2}}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Bước 8.3.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{2 y^{2}}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Bước 8.3.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{4} + C$

Bước 8.3.2.6

Kết hợp $\frac{y^{2}}{2}$ và $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{4}}{2} + C$

Bước 8.3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{4} y + y^{5}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Bước 11.3.2

Kết hợp $\frac{y^{2}}{2}$ và $x^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{4}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Bước 11.3.3

Vì $\frac{x^{4}}{2}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $\frac{y^{2} x^{4}}{2}$ đối với $y$ là $\frac{x^{4}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Bước 11.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{x^{4}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Bước 11.3.5

Kết hợp $2$ và $\frac{x^{4}}{2}$ .

$\frac{2 x^{4}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Bước 11.3.6

Kết hợp $\frac{2 x^{4}}{2}$ và $y$ .

$\frac{2 x^{4} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Bước 11.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x^{4} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Bước 11.3.7.2

Chia $x^{4} y$ cho $1$ .

$x^{4} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{4} y + y^{5}$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{4} y + \frac{d g}{d y} = x^{4} y + y^{5}$

Bước 11.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + x^{4} y = x^{4} y + y^{5}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $x^{4} y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = x^{4} y + y^{5} - x^{4} y$

Bước 12.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{4} y + y^{5} - x^{4} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Trừ $x^{4} y$ khỏi $x^{4} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{5} + 0$

Bước 12.1.2.2

Cộng $y^{5}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{5}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $y^{5}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = y^{5}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{5} d y$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{5} d y$

Bước 13.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{5}$ đối với $y$ là $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$g (y) = \frac{1}{6} y^{6} + C$

Bước 14

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{4} + \frac{1}{6} y^{6} + C$

Bước 15

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{4} + \frac{1}{6} y^{6} + C$

Bước 15.2

Kết hợp $\frac{y^{2}}{2}$ và $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{4}}{2} + \frac{1}{6} y^{6} + C$

Bước 15.3

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{4}}{2} + \frac{y^{6}}{6} + C$