Giải tích Ví dụ

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$

Bước 1.2

Chia mỗi số hạng trong $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y = \arctan (x)$ cho $x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Bước 1.3.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Bước 1.4

Đưa $y$ ra ngoài $\frac{y}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x^{2} + 1} = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Bước 1.5

Sắp xếp lại $y$ và $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2} + 1} y = \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $1$ .

$e^{\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x}$

Bước 2.2.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$e^{\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x}$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x) + C$ .

$e^{\arctan (x) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\arctan (x)}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{\arctan (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{\arctan (x)}$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} (\frac{1}{x^{2} + 1} y) = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Kết hợp $\frac{1}{x^{2} + 1}$ và $y$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + e^{\arctan (x)} \frac{y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Bước 3.2.2

Kết hợp $e^{\arctan (x)}$ và $\frac{y}{x^{2} + 1}$ .

$e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Bước 3.3

Để viết $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} + \frac{e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Bước 3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Bước 3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đưa $e^{\arctan (x)}$ ra ngoài $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + e^{\arctan (x)} y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1.1

Đưa $e^{\arctan (x)}$ ra ngoài $e^{\arctan (x)} \frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} y}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Bước 3.5.1.2

Đưa $e^{\arctan (x)}$ ra ngoài $e^{\arctan (x)} y$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Bước 3.5.1.3

Đưa $e^{\arctan (x)}$ ra ngoài $e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)) + e^{\arctan (x)} (y)$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Bước 3.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Bước 3.5.3

Nhân $\frac{d y}{d x}$ với $1$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = e^{\arctan (x)} \frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Bước 3.6

Kết hợp $e^{\arctan (x)}$ và $\frac{\arctan (x)}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Bước 3.7

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{e^{\arctan (x)} (\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} (x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + y)}{x^{2} + 1} = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] = \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\arctan (x)} y] d x = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{\arctan (x)} y = \int \frac{e^{\arctan (x)} \arctan (x)}{x^{2} + 1} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Giả sử $u = \arctan (x)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$ , nên $(x^{2} + 1) d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Hãy đặt $u = \arctan (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1.1

Tính đạo hàm $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Bước 7.1.1.2

Đạo hàm của $\arctan (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Bước 7.1.1.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Bước 7.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{\arctan (x)} y = \int e^{u} u d u$

Bước 7.2

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int w d v = w v - \int v d w$ , trong đó $w = u$ và $dv = e^{u}$ .

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - \int e^{u} d u$

Bước 7.3

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - (e^{u} + C)$

Bước 7.4

Rút gọn.

$e^{\arctan (x)} y = u e^{u} - e^{u} + C$

Bước 7.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\arctan (x)$ .

$e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ cho $e^{\arctan (x)}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{\arctan (x)} y = \arctan (x) e^{\arctan (x)} - e^{\arctan (x)} + C$ cho $e^{\arctan (x)}$ .

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{\arctan (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{\arctan (x)} y}{e^{\arctan (x)}} = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{\arctan (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\arctan (x) e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Bước 8.3.1.1.2

Chia $\arctan (x)$ cho $1$ .

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Bước 8.3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $e^{\arctan (x)}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \arctan (x) + \frac{- e^{\arctan (x)}}{e^{\arctan (x)}} + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$

Bước 8.3.1.2.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$y = \arctan (x) - 1 + \frac{C}{e^{\arctan (x)}}$